平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|=2$，$|2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たすように動く．ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$，$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を，それぞれ$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$とし，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$がなす角を$\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)(2)の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．

平面上のベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$が$|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|=2$，$|2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2$を満たすように動く．ベクトル$\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}$，$2 \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$を，それぞれ$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$とし，$\overrightarrow{x}$と$\overrightarrow{y}$がなす角を$\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$で表せ．
(2)$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$を用いて表し，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^2$を$\theta$で表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$\theta$を，それぞれ求めよ．

$\theta$を$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{6}$となる実数とし，平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$，$\mathrm{Q}(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)$をとる．さらに線分$\mathrm{PQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)加法定理を用いて$\cos 3\theta$を$\cos \theta$だけで表す式を導け．同様に$\sin 3\theta$を$\sin \theta$だけで表す式を導け．
(2)$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}=5:11$のとき，$\sin \theta,\ \cos \theta$の値を求めよ．
(3)(2)の条件下で$\triangle \mathrm{POR}$の面積を求めよ．

座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$，$\mathrm{C}(c_1,\ c_2)$について考える．
\[ I=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
-\displaystyle\frac{1}{2} & -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \\
\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
とおく．

(1)$I+J+J^2,\ J^3$を求めよ．
(2)$\left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right) \neq \left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c}
b_1 \\
b_2
\end{array} \right)=J \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)$，$\left( \begin{array}{c}
c_1 \\
c_2
\end{array} \right)=J^2 \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)$のとき，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は正三角形をなすことを示せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が異なり，
\[ \left( \begin{array}{c}
a_1 \\
a_2
\end{array} \right)+J \left( \begin{array}{c}
b_1 \\
b_2
\end{array} \right)+J^2 \left( \begin{array}{c}
c_1 \\
c_2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right) \]
が成り立つとき，三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形となることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)直径$1$の球を球の中心から距離$a$の平面で切って二つの部分に分け \\
たとき，中心を含まない部分の体積を求めよ．ただし，$\displaystyle 0<a<\frac{1}{2}$ \\
とする．
(2)$1$辺の長さが$1$である立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$を考える．この立方体に \\
内接する球と正四面体$\mathrm{ACFH}$との共通部分の体積を求めよ．
\img{748_3103_2013_1}{40}

$xy$平面上の曲線$C$は媒介変数$\theta$を用いて
\[ x=\frac{2}{3}\sqrt{3}\cos \theta+\frac{\sqrt{6}}{3}\sin \theta,\quad y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cos \theta-\frac{\sqrt{6}}{3}\sin \theta \quad (0 \leqq \theta \leqq \pi) \]
と表される．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$を表す$x$と$y$の関係式を求め，$xy$平面に図示せよ．
(2)点$(2,\ 0)$から曲線$C$に引いた接線の方程式と接点の座標を求めよ．

$m$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上に$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{P}(1,\ m)$がある．このとき$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を，$\triangle \mathrm{OPQ}$，$\triangle \mathrm{OPR}$がともに正三角形となるように定めよ．ただし，点$\mathrm{Q}$は$xy$平面上の$y>mx$となる領域に，点$\mathrm{R}$は$xy$平面上の$y<mx$となる領域に定めよ．
(2)$(1)$で定めた$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$について，一次変換$f$は点$\mathrm{P}$を同じ点$\mathrm{P}$に，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}$に移すものとする．この一次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)四角形$\mathrm{ABCD}$において，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{CBD}$，$\mathrm{AC}=8$，$\mathrm{AP}=2$，$\mathrm{PD}=4$とする．このとき$\mathrm{BD}$の長さを求めよ．
(2)平面上で$2$つの円を考える．共通接線がちょうど$3$本引けるような$2$つの円の位置関係の例を図示せよ．また，$3$本の共通接線も描け．
(3)$3$個のさいころを同時に投げるとき，$3$個の目の積が$3$の倍数である確率を求めよ．
(4)$a,\ b$を実数とする．命題「$ab=0$ならば，$a=0$かつ$b=0$」の逆と対偶を書き，それぞれの真偽を答えよ．

$xy$平面において，点$\mathrm{F}(p,\ 0)$と$y$軸から等距離にある点の軌跡を$C$とする．ただし$p>0$とする．次の各問いに答えよ．

(1)$C$を表す方程式を求めよ．
(2)$C$上の点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし$y_0 \neq 0$とする．
(3)(2)の$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{FP}=\mathrm{FQ}$であることを証明せよ．