座標平面上の点で，$x$座標と$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を$3$以上の自然数とし，連立不等式
\[ x \geqq 0,\quad y \geqq 0,\quad x+y \leqq n \]
の表す領域を$D$とする．格子点$\mathrm{A}(a,\ b)$に対して，領域$D$内の格子点$\mathrm{B}(c,\ d)$が$|a-c|+|b-d|=1$を満たすとき，点$\mathrm{B}$を点$\mathrm{A}$の隣接点という．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}(0,\ 0)$の隣接点をすべて求めよ．また，領域$D$内の格子点$\mathrm{P}$が直線$x+y=n$上にあるとき，$\mathrm{P}$の隣接点の個数を求めよ．
(2)領域$D$内の格子点のうち隣接点の個数が$4$であるものの個数を求めよ．
(3)領域$D$から格子点を$1$つ選ぶとき，隣接点の個数の期待値が$3$以上となるような$n$の範囲を求めよ．ただし，格子点の選ばれ方は同様に確からしいものとする．

座標平面上の点$\mathrm{P}$は，硬貨を$1$回投げて表が出れば$x$軸の正の方向に$2$，裏が出れば$y$軸の正の方向に$1$だけ進むことにする．最初，$\mathrm{P}$は原点にある．硬貨を$5$回投げた後の$\mathrm{P}$の到達点について，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の到達点が$(10,\ 0)$となる確率を求めよ．また，$(6,\ 2)$となる確率を求めよ．
(2)$2$点$(10,\ 0)$，$(6,\ 2)$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．また，$\mathrm{P}$の到達点はすべて直線$\ell$上にあることを示せ．
(3)$(2)$で求めた直線$\ell$と原点との距離を求めよ．
(4)$\mathrm{P}$の到達点と原点との距離$d$が，$2 \sqrt{5}<d \leqq 5$となる確率を求めよ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が$1$である円$C$の円周上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の外心$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

$xy$平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とし，半径が1である円$C$の円周上に，点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．ただし，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OAB}$の外心$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が円$C$の円周上にあるとき，$\theta$の値を求めよ．

$xy$平面上に4点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-1,\ 2)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{P}(u,\ v)$がある．点$\mathrm{P}$が
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cos \alpha+\overrightarrow{\mathrm{OB}} \sin \beta \qquad (\text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \pi,\ 0 \leqq \beta \leqq \pi) \]
を満たすとき，点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示せよ．

$0<t<1$とする．$xy$平面上の曲線$\displaystyle C_1:y=t \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と曲線$y=2 \sin x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$について，次の問いに答えよ．

(1)2曲線$C_1,\ C_2$の交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，$\sin \alpha$と$\cos \alpha$を$t$を用いて表せ．
(2)2曲線$C_1,\ C_2$と$y$軸で囲まれた図形の面積を$S(t)$とする．また，2曲線$C_1,\ C_2$と，$x$軸上の2点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2},\ 0 \right)$，$(\pi,\ 0)$を結ぶ線分で囲まれた図形の面積を$T(t)$とする．このとき，$S(t)$と$T(t)$を求めよ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}\frac{t^2T(t)}{S(t)}$を求めよ．

$a,\ b,\ c$は実数とし，$a<b$とする．平面上の相異なる$3$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$，$\mathrm{C}(c,\ c^2)$が，辺$\mathrm{AB}$を斜辺とする直角三角形を作っているとする．次の問いに答えよ．

(1)$a$を$b,\ c$を用いて表せ．
(2)$b-a \geqq 2$が成り立つことを示せ．
(3)斜辺$\mathrm{AB}$の長さの最小値と，そのときの$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標をそれぞれ求めよ．

一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．ただし，点$\mathrm{P}$は内積に関する条件$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{4}$，および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{1}{2}$をみたす．辺$\mathrm{AP}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{N}$とする．さらに，点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{BC}$上の点$\mathrm{Q}$を通る直線$\mathrm{PQ}$は，平面$\mathrm{OMN}$に垂直であるとする．このとき，長さの比$\mathrm{BQ}:\mathrm{QC}$，および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．

座標平面上で，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ x+2y \leqq 5,\quad 3x+y \leqq 8,\quad -2x-y \leqq 4,\quad -x-4y \leqq 7 \]
点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$x+y$の値が最大となる点を$\mathrm{Q}$とし，最小となる点を$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$および点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(2)$a>0$かつ$b>0$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$内を動くとき，$ax+by$が点$\mathrm{Q}$でのみ最大値をとり，点$\mathrm{R}$でのみ最小値をとるとする．このとき，$\displaystyle \frac{a}{b}$の値の範囲を求めよ．

一辺の長さが1の正方形$\mathrm{OABC}$を底面とし，$\mathrm{OP}=\mathrm{AP}=\mathrm{BP}=\mathrm{CP}$をみたす点$\mathrm{P}$を頂点とする四角錐$\mathrm{POABC}$がある．辺$\mathrm{AP}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{D}$，辺$\mathrm{CP}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{BC}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$t$を用いて表せ．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の値を求めよ．
(4)直線$\mathrm{PQ}$が平面$\mathrm{ODE}$に垂直であるとき，$t$の値および線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．