$xy$平面内で，$y$軸上の点$\mathrm{P}$を中心とする円$C$が$2$つの曲線
\[ C_1:y=\sqrt{3}\log (1+x),\quad C_2:y=\sqrt{3}\log (1-x) \]
とそれぞれ点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$で接しているとする．さらに$\triangle \mathrm{PAB}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$y$軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき$3$つの曲線$C$，$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$\alpha,\ \beta$を実数とする．$xy$平面内で，点$(0,\ 3)$を中心とする円$C$と放物線
\[ y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta \]
が点$\mathrm{P}(\sqrt{3},\ 0)$を共有し，さらに$\mathrm{P}$における接線が一致している．このとき以下の問に答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．
(2)円$C$，放物線$\displaystyle y=-\frac{x^2}{3}+\alpha x-\beta$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

半径1の円を底面とする高さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$の直円柱がある．底面の円の中心を$\mathrm{O}$とし，直径を1つ取り$\mathrm{AB}$とおく．$\mathrm{AB}$を含み底面と$45^\circ$の角度をなす平面でこの直円柱を2つの部分に分けるとき，体積の小さい方の部分を$V$とする．

(1)直径$\mathrm{AB}$と直交し，$\mathrm{O}$との距離が$t \ (0 \leqq t \leqq 1)$であるような平面で$V$を切ったときの断面積$S(t)$を求めよ．
(2)$V$の体積を求めよ．

平面上の4点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が
\[ \mathrm{OA}=4,\quad \mathrm{OB}=3,\quad \mathrm{OC}=2,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=3 \]
を満たすとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の最大値を求めよ．

$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$に対し，$xy$平面の第1象限の点$\mathrm{P}$および$x$軸の正の部分にある点$\mathrm{Q}$を
\[ \angle \mathrm{QOP}=\theta,\quad \angle \mathrm{PQO}=2\theta,\quad \mathrm{PQ}=1 \]
を満たすようにとる．$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{R}$とする．$\theta$が$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$の範囲を動くとき，$\mathrm{P}$の軌跡を$C_1$，$\mathrm{R}$の軌跡を$C_2$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$C_1,\ C_2$を求め，それらを図示せよ．
(3)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，放物線$C:y=1-x^2$がある．$C$上に$2$点$\mathrm{P}(p,\ 1-p^2)$，$\mathrm{Q}(q,\ 1-q^2)$を$p<q$となるようにとる．

(1)$2$つの線分$\mathrm{OP}$，$\mathrm{OQ}$と放物線$C$で囲まれた部分の面積$S$を，$p$と$q$の式で表せ．
(2)$q=p+1$であるとき$S$の最小値を求めよ．
(3)$pq=-1$であるとき$S$の最小値を求めよ．

座標平面上で，直線$y=x$に関する対称移動を$f$とし，実数$c$に対して，直線$y=cx$に関する対称移動を$g$とする．また，原点を中心とする$120^\circ$の回転移動を$h$とする．

(1)$f$を表す行列，および$h$を表す行列を求めよ．
(2)$g$を表す行列を求めよ．
(3)合成変換$f \circ g$が$h$になるように$c$の値を定めよ．

実数$x,\ y,\ s,\ t$に対し，$z=x+yi,\ w=s+ti$とおいたとき，
\[ z=\frac{w-1}{w+1} \]
をみたすとする．ただし，$i$は虚数単位である．

(1)$w$を$z$で表し，$s,\ t$を$x,\ y$で表せ．
(2)$0 \leqq s \leqq 1$かつ$0 \leqq t \leqq 1$となるような$(x,\ y)$の範囲$D$を座標平面上に図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D$を動いたとき，$-5x+y$の最小値を求めよ．

$xyz$空間における平面$y=0$上のグラフ$z=2-x^2,\ (0 \leqq x \leqq \sqrt{2})$を$z$軸の周りに回転して得られるものを平面$x=a$で切りとる．ただし$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$とする．そのとき切り口の平面に曲線$G$が現れた．$G$上の点$(x,\ y,\ z)$は，
\[ x=a,\quad z=2-a^2-y^2 \quad (-\sqrt{2-a^2} \leqq y \leqq \sqrt{2-a^2}) \]
をみたす．切り口の平面$x=a$上において点$(a,\ 0,\ 0)$と曲線$G$上の点の距離の最大値を$r(a)$とする．このとき下記の設問に答えよ．

(1)$0 \leqq a \leqq \sqrt{2}$に対して$r(a)$を求めよ．
(2)次の積分値を求めよ．
\[ \pi \int_1^{\sqrt{2}}(r(x))^2 \,dx \]

次の規則に従って座標平面を動く点$\mathrm{P}$がある．2個のサイコロを同時に投げて出た目の積を$X$とする．

(i) $X$が$4$の倍数ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$-1$動く．
(ii) $X$を$4$で割った余りが$1$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$-1$動く．
(iii) $X$を$4$で割った余りが$2$ならば，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く．
\mon[$\tokeishi$] $X$を$4$で割った余りが$3$ならば，点$\mathrm{P}$は$y$軸方向に$+1$動く．

たとえば，$2$と$5$が出た場合には$2 \times 5=10$を$4$で割った余りが$2$であるから，点$\mathrm{P}$は$x$軸方向に$+1$動く． \\
\quad 以下のいずれの問題でも，点$\mathrm{P}$は原点$(0,\ 0)$を出発点とする．

(1)$2$個のサイコロを$1$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(-1,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)$2$個のサイコロを$3$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(2,\ 1)$にある確率を求めよ．
(3)$2$個のサイコロを$4$回投げて，点$\mathrm{P}$が$(1,\ 1)$にある確率を求めよ．