$f(x)=\log x$，$g(x)=(\log x)^2$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)関数$y=f(x)$と関数$y=g(x)$のグラフを$1$つの座標平面上にかけ．
(2)曲線$y=f(x)$と曲線$y=g(x)$で囲まれた部分の面積を求めよ．

$a$を$0<a<1$とする．座標空間の$4$点を$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{a},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{1-a} \right)$とする．また，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を頂点とする四面体に内接する球を$S$とする．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面に直交し長さが$1$のベクトルを$a$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と球$S$の接点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)球$S$の半径を$a$を用いて表せ．
(4)球$S$の体積の最大値を求めよ．

以下の問いに答えなさい．

$y=2(x-1)(x^2-2x-2)$で与えられる平面上の曲線$C$を考える．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の座標をすべて答えなさい．
(2)$x=a$で曲線$C$と接する接線の方程式を$a$を用いて答えなさい．
(3)$x=a$で曲線$C$と接する接線と$y$軸との交点の$y$座標を$b$とする．$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a \leqq 3$における$b$の最小値と最大値を答えなさい．また，$b$の値が最小，最大となるときの$a$の値をそれぞれ答えなさい．

以下の各問いに答えよ．

(1)$a$は実数とする．極限$\displaystyle \lim_{x \to +0} \int_x^2 t^a \, dt$を調べよ．
(2)$\displaystyle \alpha,\ \beta \left( 0<\alpha \leqq \beta<\frac{\pi}{2} \right)$が$\tan \alpha \tan \beta=1$を満たすとき，$\displaystyle \alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$であることを示せ．
(3)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$の上を動くとき，$3x^2-16xy-12y^2$の値が最大になる点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(4)公正なサイコロを$2$回振り，$1$回目に出た目を$a$，$2$回目に出た目を$b$とする．また，公正なコインを$1$回投げ，表が出たら$c=1$，裏が出たら$c=-1$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(b,\ ca)$と定める．次の問いに答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が垂直になる確率を求めよ．
(ii) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になる確率を求めよ．
(iii) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$の期待値を求めよ．
\mon[$\tokeishi$] $\triangle \mathrm{OAB}$の面積の期待値を求めよ．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$が平行になるときは面積を$0$とする．

$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}<\frac{\pi}{2}$の$\triangle \mathrm{OAB}$を含む平面を$H$とする．平面$H$上に無い点$\mathrm{C}$から平面$H$，直線$\mathrm{OA}$，直線$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$，$p=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$q=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$，$r=\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$として，以下の問いに答えよ．ただし，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$の内積である．

(1)$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}=0$であることを示せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$p,\ q,\ r$で表せ．
(3)$\mathrm{EF}$の長さを$p,\ q,\ r$で表せ．
(4)$\displaystyle p=\frac{1}{5}$，$q=1$，$r=2$であるとき，$\mathrm{OD}$の長さを求めよ．

$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を空間のベクトルとし，$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=0$，$\displaystyle \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=-\frac{1}{2}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$とおく．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{O}$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$に平行な平面$\alpha$がある．点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線を下ろし，その足を$\mathrm{H}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$x$，$y$，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$のうち，必要なものを用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=\sqrt{3}$となるように点$\mathrm{P}$が動くとする．このとき，$x,\ y$から定まる点$\mathrm{Q}(x,\ y)$の軌跡を求め，その概形をかけ．

$2$つの数列$\{x_n\}$，$\{y_n\}$を，$x_1=1$，$y_1=0$，かつ，各自然数$n$に対して，
\[ x_{n+1}=x_n-y_n,\quad y_{n+1}=x_n+y_n \]
として定める．次の問に答えなさい．

(1)各自然数$n$に対して，${x_n}^2+{y_n}^2={2}^{n-1}$が成り立つことを示しなさい．
(2)各自然数$n$に対して，$x_{n+1}x_n+y_{n+1}y_n$および$x_{n+2}x_n+y_{n+2}y_n$の値を求めなさい．
(3)各自然数$n$に対して，$xy$平面上に点$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$をとる．このとき，$\angle \mathrm{P}_{n+1} \mathrm{OP}_n$と$\angle \mathrm{P}_{n+2} \mathrm{OP}_n$の大きさを求めなさい．ただし，点$\mathrm{O}$は$xy$平面の原点である．
(4)一般項$x_n,\ y_n$を各々求めなさい．

座標平面上に点$\mathrm{P}(x,\ y)$，点$\mathrm{F}(1,\ 0)$，点$\mathrm{F}^\prime(-1,\ 0)$，および直線$\ell:x=2$がある．点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とする．また，点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{F}$，$\mathrm{F}^\prime$，$\mathrm{H}$との距離を，それぞれ$\mathrm{PF}$，$\mathrm{PF}^\prime$，$\mathrm{PH}$とし，原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$の距離を$r$とする．比$\displaystyle \frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PH}}$の値が$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$となる点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PF}+\mathrm{PF}^\prime$は定数となる．その値を求めよ．
(3)$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime$を$r$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{P}$は第$1$象限にあり，$\displaystyle \angle \mathrm{F}^\prime \mathrm{PF}=\frac{\pi}{3}$とする．このとき，$r$の値と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．また，$C$上の求めた点$\mathrm{P}$における接線の方程式を求めよ．

$xy$平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$4$の円$C$の内側を半径$1$の円$C^\prime$が内接しながら滑ることなく転がるとき，円$C^\prime$上の点$\mathrm{P}$が描く曲線を$X$とする．ただし，点$\mathrm{P}$のはじめの位置は点$\mathrm{P}_0(4,\ 0)$とする．円$C^\prime$の中心$\mathrm{O}^\prime$が原点$\mathrm{O}$の周りを$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OO}^\prime}$の成分を$\theta$を用いて表せ．
(2)$x,\ y$を$\theta$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$における曲線$X$の接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，線分$\mathrm{QR}$の長さは一定であることを示せ．ただし，点$\mathrm{P}$は座標軸上の点ではないものとする．

$\alpha$は実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & -\sqrt{3} \\
\sqrt{3} & 1
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．

(1)$A=r \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \theta$の値を求めよ．ただし，$r>0$，$0<\theta<\pi$とする．
(2)$B^n=\left( \begin{array}{cc}
\cos n\alpha & -\sin n\alpha \\
\sin n\alpha & \cos n\alpha
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを数学的帰納法を用いて示せ．
(3)$A_n=r_n \left( \begin{array}{cc}
\cos \theta_n & -\sin \theta_n \\
\sin \theta_n & \cos \theta_n
\end{array} \right) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を$(A_n)^n=A$により定める．ただし，$r_n>0$，$\displaystyle 0<\theta_n<\frac{\pi}{n}$とする．このとき，$r_n$，$\theta_n$を$n$の式で表せ．
(4)$(3)$で定めた$A_n$を用いて行列$T_n$を$T_n=nA_n$により定める．点$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，$T_n$の表す$1$次変換によって点$(1,\ 0)$が移される点を$\mathrm{P}_n$とするとき，$\triangle \mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積$S_n$を$n$の式で表せ．また，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．