座標平面上に，始点が原点で終点の$y$座標が$1$に等しい$2$つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$がある．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度を$\theta (0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ)$とするとき，等式
\[ \sin \theta =\frac{|\overrightarrow{a|-\overrightarrow{b}}}{|\overrightarrow{a|} |\overrightarrow{b|}} \]
が成り立つことを示せ．

大小$2$つのコインを投げたとき，次の（ルール）に従って，平面上の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かす．


\mon[（ルール）] $\mathrm{P}$が$(a,\ b)$にいるとき，大きなコインが表なら$\mathrm{P}$を$(a+1,\ b)$に動かし，裏なら$(a,\ b+1)$に動かす．また，$\mathrm{Q}$が$(c,\ d)$にいるとき，小さいコインが表なら$\mathrm{Q}$を$(c-1,\ d)$に動かし，裏なら$(c,\ d-1)$に動かす．

最初に，$\mathrm{P}$は$(0,\ 0)$にいて，$\mathrm{Q}$は$(4,\ 4)$にいるとする．この状態から，大小$2$つのコインを同時に投げて（ルール）に従って$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を動かす試行を$4$回繰り返したときの$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の位置について，次の問いに答えよ．ただし，大小どちらのコインについても，表と裏の出る確率はともに$\displaystyle \frac{1}{2}$に等しいとする．

(1)$\mathrm{P}$が$(1,\ 3)$にいる確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が同じ点にいる確率を求めよ．

座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ t,\ -1)$，$\mathrm{D}(u,\ 2,\ 1)$がある．ただし，$t,\ u$は実数であり，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$t$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを求めよ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるならば$u=4$であることを示せ．
(4)$u=3$のとき四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

座標空間内に$4$点$\mathrm{A}(0,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ t,\ 1-t)$，$\mathrm{C}(0,\ s,\ -1)$，$\mathrm{D}(3,\ 2,\ 1)$がある．ただし，$t$と$s$は実数で$t>-1$をみたし，また$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は垂直であるとする．次の問いに答えよ．

(1)$s$を$t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の両方に垂直で大きさが$1$のベクトル$\overrightarrow{n}=(p,\ q,\ r)$のうち$p>0$となるものを$t$を用いて表せ．
(3)$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が同一平面に含まれるための必要十分条件は，$\displaystyle t=-\frac{1}{3}$または$t=1$であることを証明せよ．

$a>0$，$b>0$とし，座標平面上の楕円$\displaystyle K:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の$2$点
\[ \mathrm{A}(a \cos \theta,\ b \sin \theta),\qquad \mathrm{B} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ b \sin \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right) \right) \]
のそれぞれにおける$K$の接線を$\ell$，$m$とする．ただし，$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$とする．$2$直線$\ell$と$m$の交点を$\mathrm{C}(c,\ d)$とし，さらに$2$点$\displaystyle \mathrm{D} \left( a \cos \left( \theta+\frac{\pi}{2} \right),\ 0 \right)$，$\mathrm{E}(c,\ 0)$をとる．台形$\mathrm{CBDE}$の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$c$および$d$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$S$を$a,\ b,\ \theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲を動くときの$S$の最大値，および，$S$が最大値をとるときの$m$の傾きを$a,\ b$を用いて表せ．

$xy$平面上で$x$座標と$y$座標がともに自然数であるような点$(m,\ n)$の各々に，自然数$a(m,\ n)$が割り当てられている．$a(1,\ 1)=1$であり，すべての$m,\ n$に対して次の規則が成り立っているとする．
\[ \begin{array}{l}
a(m+1,\ n)=a(m,\ n)+m+n \\
a(m,\ n+1)=a(m,\ n)+m+n-1
\end{array} \]
このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$a(1,\ 3)$および$a(2,\ 2)$の値を求めなさい．
(2)各々の自然数$n$に対して$a_n=a(n,\ n)$とおいて数列$\{a_n\}$を定めるとき，$a_{n+1}$を$a_n$と$n$の式で表しなさい．
(3)$a_{100}$の値を求めなさい．

$xy$平面において，$x$軸の正の部分に中心$\mathrm{A}$をもつ半径$1$の円$C$が，直線$\displaystyle y=x \tan t (0<t<\frac{\pi}{2})$に点$\mathrm{P}$で接している．以下の問いに答えなさい．

(1)点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{P}$の$x$座標を求めなさい．
(2)$x$軸の正の部分と円$C$と直線$y=x \tan t$で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転した立体の体積$V(t)$を求めなさい．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{t \to +0}tV(t)$を求めなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面において，点$\mathrm{A}$の座標を$(2,\ 0)$とし，点$\mathrm{P}$は直線$y=\sqrt{3}x$上にあるものとする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)三角形$\mathrm{AOP}$の外接円の半径が$5$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(2)$\angle \mathrm{P}={45}^\circ$となるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めなさい．
(3)$\angle \mathrm{A}={45}^\circ$となるときの三角形$\mathrm{AOP}$の面積を求めなさい．

$\displaystyle f(x)=\int_x^{x+1} t \cdot |t| \, dt$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$f(0)$と$f(-1)$を求めよ．
(2)$f^\prime(x)$を求めよ．
(3)$f(x)$を求めよ．
(4)座標平面において曲線$y=f(x)$と直線$y=f(-1)$で囲まれる部分のうち，$-2 \leqq x \leqq -1$の範囲の面積を$S_1$，$-1 \leqq x \leqq 0$の範囲の面積を$S_2$，$0 \leqq x \leqq 1$の範囲の面積を$S_3$とする．$S_1$，$S_2$，$S_3$を求めよ．

座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 7)$，$\mathrm{C}(4,\ 4,\ 5)$がある．また，$s,\ t$は実数であるとして，点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 4)$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるための$s,\ t$の関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上にあるときの$s,\ t$の値を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上を動くとき，その軌跡により三角形$\mathrm{ABC}$は二つの部分に分けられる．この二つの部分の面積の比の値$r$を求めよ．ただし，$r \geqq 1$とする．