座標平面上の曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 9)$をとり，$t$を実数として，点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$をとる．$f(t)=\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$とおく．ただし，$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$は$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$の内積を表している．さらに，$t \neq -1,\ 3$のとき，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$のなす角を$\theta$とおく．ただし，$0 \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．

(1)$t=0$のときの$\cos \theta$の値を求めよ．
(2)$f(t)$は$t$の$4$次式となる．それを降べきの順に整理して書け．
(3)$f(t)$は
\[ f(t)=(t+m)(t+n)(t^2+at+b) \quad (\text{ただし，$m,\ n,\ a,\ b$は整数}) \]
の形に書ける．$f(t)$をこの形に書き表せ．
(4)$-1<t<3$の範囲内で，$\theta={90}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．
(5)左側からの極限$\displaystyle \lim_{t \to 3-0} \cos \theta$の値を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)座標平面上の点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 1,\ \frac{1}{4} \right)$を通る$2$曲線$\displaystyle C_1:y=\frac{1}{4}x^2$，$C_2:ax^2+by^2=1$（$a,\ b$は正の定数）を考える．点$\mathrm{A}$における$2$曲線$C_1,\ C_2$の接線が直交するとき
\[ a=\frac{[ア]}{[イ]},\quad b=\frac{[ウエ]}{[オ]} \]
である．
(2)座標平面の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が円$\displaystyle C:(x-1)^2+(y-1)^2=\frac{1}{16}$上を動くとき，式
\[ \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \]
がとる最大値を$M$とすれば
\[ M=\frac{[カキ]}{[クケ]} \]
である．

座標平面の曲線$C:y=\sqrt{x^2+9}$上の点$\mathrm{A}(4,\ 5)$における接線を$L$とする．

(1)接線$L$の方程式は
\[ y=\frac{[ア]}{[イ]}x+\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)曲線$C$，接線$L$および$y$軸とで囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[オカ]}{[キ]} \pi \]
である．

座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=ax^2+1,\quad C_2:x=ay^2+1 \quad (a \text{は正の定数}) \]
を考える．

(1)$2$つの曲線$C_1,\ C_2$が$2$点で交わるような正の定数$a$の値の範囲は
\[ 0<a<\frac{[ア]}{[イ]} \]
である．
(2)$\displaystyle a=\frac{3}{16}$のとき，曲線$C_1$と曲線$C_2$とで囲まれた図形の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ウエ]}{[オカ]} \]
である．

次の問に答えよ．

(1)$a$を正の実数とするとき，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10} \frac{x}{a} \right)(\log_{10}ax)=\log_{10}a$が解をもつような$a$の範囲を求めよ．
(2)媒介変数$t$を用いて半直線が$\left\{ \begin{array}{l}
x=1+2t \\
y=1+3t
\end{array} \right. (t \geqq 0)$と表されている．$xy$平面上の点$(3,\ 0)$との距離が最小となるような，半直線上の点の座標を求めよ．
(3)袋の中に$10$個の球があり，そのうち赤球は$x$個，白球は$(10-x)$個である．この袋から球を同時に$3$個取り出す．$3$個とも赤球である確率が$\displaystyle \frac{1}{30}$であるときの$x$の値を求めよ．

次の問に答えよ．

(1)不等式$x^2+y^2-6x-4y \leqq -9$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を$xy$平面上に図示せよ．
(2)関数$y=e^x-e^{-x}$のグラフに接する，傾きが$4$である接線の方程式を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_{e^{-1}}^e |\log x| \, dx$の値を求めよ．ただし，$\log$は自然対数である．

$xy$平面上に関数$y=e^x$のグラフ$C_1$と関数$y=a \sqrt{x} (a>0)$のグラフ$C_2$があり，ただ$1$つの共有点$\mathrm{A}$をもち，点$\mathrm{A}$で同一の接線をもつ．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$の$x$座標と$a$の値を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$と$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)$(2)$の図形を$x$軸で$1$回転させた回転体の体積を求めよ．

$f(x)=x^2-4$，$g(x)=x(x^2-1)$とし，次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq \displaystyle\frac{1}{2}x^2 \\
x^2+y^2 \leqq 8 \phantom{\frac{[　]}{2}} \\
f(x)g(x) \geqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]

(1)$f(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(2)$g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(3)$f(x)g(x) \geqq 0$を満たす$x$の範囲を求めよ．
(4)$xy$平面上に領域$D$を図示せよ．
(5)領域$D$の面積を求めよ．
(6)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$2x+y$の最大値と最小値を求めよ．最大値と最小値をとるときの点$\mathrm{P}$の座標も答えること．

以下の問に答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=2x^2+3x+3 \left( -2 \leqq x \leqq \frac{1}{3} \right)$の最大値を$A$，最小値を$B$とするとき，$A$，$B$の値を求め，それらを$A$，$B$の順に記せ．

(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 4)$と直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$がある．点$\mathrm{P}$が直線$\displaystyle y=\frac{2}{3}x+1$上を動くとき，長さ$\mathrm{AP}$の最小値を求めよ．
(3)$x$の$2$次方程式$x^2-2kx+2k+3=0$が$-2<x<0$の範囲に異なる$2$つの実数解を持つとき，定数$k$の値の範囲は$A<k<B$となる．$A,\ B$の値を求め，それらを$A,\ B$の順に記せ．

(4)$\displaystyle \frac{\sqrt{23}+\sqrt{7}}{\sqrt{23}-\sqrt{7}}$の小数部分の値を求めよ．

(5)放物線$y=x^2-3x+2$を$x$軸方向に$2$，$y$軸方向に$-1$だけ平行移動した放物線の方程式を$y=f(x)$とおくとき，$\displaystyle f \left( \frac{3}{4} \right)$の値を求めよ．

以下の問に答えよ．

(1)座標平面上の点と方程式に関する以下の問に答えよ．

\mon[$①$] 点$(2,\ 3)$を通る傾き$m$の直線の方程式を求めよ．
\mon[$②$] 点$(2,\ 3)$から円$x^2+y^2=1$に引いた接線の傾きを求めよ．
\mon[$③$] 条件$x^2+y^2=1,\ y-x \geqq -1$を同時に満たす点$(x,\ y)$について$\displaystyle \frac{y-3}{x-2}=k$とおくとき，$k$の最大値を求めよ．

(2)三角関数に関する以下の問に答えよ．ただし$0 \leqq \theta<2\pi$とする．

\mon[$①$] $\sin \theta-\cos \theta$の最大値と最小値を求めよ．
\mon[$②$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$の範囲を求めよ．
\mon[$③$] $\sin \theta-\cos \theta \geqq -1$を満たす$\theta$に対する$\displaystyle \frac{\sin \theta-3}{\cos \theta-2}$の最大値と最小値を求めよ．