$a$を$-1$でない実数とし，座標平面において，放物線
\[ C:y=(x^2-2x+1)+a(x^2-5x+6) \]
を考える．

(1)$C$は，$a$の値によらず$2$点$\mathrm{P}([ソ],\ [タ])$，$\mathrm{Q}([チ],\ [ツ])$を必ず通る．ただし，$[ソ]<[チ]$とする．
(2)点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$，点$\mathrm{Q}$における$C$の接線を$\ell^\prime$とする．$\ell$と$\ell^\prime$の交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[テ]}{[ト]},\ \frac{[ナ]}{[ニ]}a+[ヌ] \right)$である．

(3)$C$の軸は$\displaystyle x=\frac{1}{2} \left( [ネ]+\frac{[ノ]}{a+[ハ]} \right)$である．

(4)$C$が$x$軸と異なる$2$点で交わるのは

$a<[ヒ]$ \ または \ $[フ]<a$ \quad （ただし$a \neq -1$）

のときである．
(5)$a=[フ]$のとき，$C$は点$\displaystyle \left( \frac{[ヘ]}{[ホ]},\ 0 \right)$で$x$軸と接する．
(6)$C$が$x$軸と$2$点$(\alpha,\ 0)$，$(\beta,\ 0)$（ただし$\alpha<\beta$）で交わるとき，$\displaystyle \beta-\alpha=\frac{2}{3} \sqrt{5}$となるのは，$a=[マ]$または$\displaystyle a=\frac{[ミ]}{[ム]}$のときである．ただし，$\displaystyle [マ]<\frac{[ミ]}{[ム]}$とする．$a=[マ]$のとき，$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[メ]}{[モ]} \sqrt{[ヤ]}$である．

平面上に同一直線上にない$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が与えられているとし，$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$が
\[ 4 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+7 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+2 \overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしているとする．線分$\mathrm{AP}$を延長した直線と線分$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$，線分$\mathrm{BP}$を延長した直線と線分$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{R}$とおく．


(1)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ][ウ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[エ]}{[オ][カ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}}$である．

(2)点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AQ}$を$[キ]:[ク]$に内分する点であり，点$\mathrm{Q}$は線分$\mathrm{BC}$を$[ケ]:[コ]$に内分する点である．
(3)$\triangle \mathrm{APB}$の面積を$S$，四角形$\mathrm{CQPR}$の面積を$T$とおくと，
\[ S:T=[サ]:[シ][ス] \]
である．

平面上に三角形$\mathrm{OAB}$があり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{C}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)線分$\mathrm{OA}$を$s:(1-s)$，線分$\mathrm{OB}$を$t:(1-t)$に内分した点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{DB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{EA}}$を$s,\ t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．ただし，$0<s<1$，$0<t<1$とする．
(3)線分$\mathrm{DB}$と線分$\mathrm{EA}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\displaystyle s=\frac{1}{3},\ t=\frac{2}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(4)$(3)$で用いた$s,\ t$の値に対し，線分$\mathrm{OF}$の中点を$\mathrm{H}$，線分$\mathrm{DE}$を$k:(1-k)$に内分した点を$\mathrm{G}$とするとき，$\mathrm{H}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{C}$が一直線上にあるときの$k$の値を求めよ．

$k$を実数とし，座標平面上の$2$つの曲線
\[ C_1:y=k \cos x,\quad C_2:y=\sin 2x \]
を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$C_1,\ C_2$が$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$において共有点をもつとき，$k$の取りうる値の範囲を求めよ．

以下では$k$が$(1)$の条件を満たすものとし，$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$における$C_1$，$C_2$の共有点の$x$座標を$a$とおく．このとき，次の問に答えよ．

(2)$\sin a$を$k$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$0 \leqq x \leqq a$の部分において，$C_1$，$C_2$および$y$軸によって囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$k$を用いて表せ．
(4)座標平面上の$\displaystyle a \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分において，$C_1$，$C_2$によって囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_2$を$k$を用いて表せ．
(5)$k$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

$a$を正の実数とする．座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(a,\ a)$，$\mathrm{C}(0,\ a)$がある．四角形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}(a,\ p)$をとり，点$\mathrm{P}$を通り$\mathrm{AC}$と平行な直線と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)三角形$\mathrm{OPQ}$の面積$S$を$a$と$p$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{OPQ}$の外接円の半径$R$を$a$と$p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OAP}$と三角形$\mathrm{PBQ}$の面積がともに$1$であるとき，$a-p$と$a+p$の値を求めよ．
(4)$(3)$のとき，$a$と$p$の値を求めよ．
(5)$a$と$p$が$(4)$で求めた値であるとき，三角形$\mathrm{OPQ}$の内接円の半径$r$の値を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$(\log_3 x)(\log_3 9x)-6 \log_9 x-6=0$を満たす$x$の値をすべて求めると，$[ア]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{A}(1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 7)$，$\mathrm{C}(-1,\ 5)$がある．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$と直交する直線の方程式は$y=[イ]$である．
(3)実数$x$が方程式$(1+i)x^2-(5+i)x+6-2i=0$を満たすとき，$x=[ウ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．$\tan \theta=\sqrt{7}$のとき，$\sin \theta=[エ]$である．
(5)$3$つのさいころを同時に投げたとき，出た目の最小値が$5$となる確率は$[オ]$である．
(6)整式$P(x)=x^3+ax^2+bx+c$は$x^2-3x+2$で割ったときの余りが$-2x+7$であり，関数$y=P(x)$は$x=1$で極値をとる．このとき，$a=[カ]$，$b=[キ]$，$c=[ク]$である．
(7)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=3$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{5}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ケ]$である．
(8)直線$y=2x+k$が円$x^2-2x+y^2=0$と共有点をもつとき，$[コ] \leqq k \leqq [サ]$である．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)$a$を実数とするとき，不等式$x^2-2ax+2a^2+a-1>0$がすべての実数$x$に対して成り立つような$a$の値の範囲を求めると$[ア]$である．
(2)$n$を整数とするとき，$\displaystyle \frac{3n-2}{5}$より大きな整数のうち最小のものが$6$となるような$n$の値をすべて求めると$n=[イ]$である．
(3)複素数$\displaystyle z=\frac{2-i}{1+i}$について，$z^2-z$を計算すると$z^2-z=[ウ]$である．さらに，$z^4-2z^3+3z^2-3z$を計算すると$z^4-2z^3+3z^2-3z=[エ]$である．
(4)$a>0$とし，$x>0$において$\displaystyle y=\left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)$を考える．$t=\log_{10} x$，$b=\log_{10}a$として$y$を$t$と$b$で表すと$y=[オ]$である．また，$x$の方程式$\displaystyle \left( \log_{10}ax^2 \right) \left( \log_{10} \frac{a}{x} \right)=1$が異なる$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもつとき，$\alpha\beta$を$a$で表すと$\alpha\beta=[カ]$である．
(5)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(4,\ 6)$，$\mathrm{B}(1,\ 3)$，$\mathrm{C}(4,\ 2)$を考える．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る円の半径$r$を求めると$r=[キ]$である．また，点$\mathrm{A}$を通る直線が，この円と$\mathrm{A}$とは異なる点$\mathrm{P}$で交わり，$\mathrm{AP}=\sqrt{2}r$となるとき，この直線の傾き$k$を求めると$k=[ク]$である．

$xy$平面上に，円$C:x^2+y^2=1$，$C$上に点$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，および$C$の外に点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{3 \sqrt{5}}{5},\ -\frac{\sqrt{5}}{5} \right)$をとる．次の問に答えよ．

(1)$\mathrm{A}$における接線の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{B}$から$C$に引いた接線の傾きを求めよ．
(3)$\mathrm{B}$から$C$に引いた$2$本の接線の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$の方程式を求めよ．

$xy$平面上に，放物線$C_1:y=x^2-1$，$C_2:y=x^2$がある．$C_1$上を動く点$\mathrm{P}(p,\ p^2-1)$から$C_2$に$2$本の接線を引き，それらの接点を$\mathrm{Q}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{R}(\beta,\ \beta^2) (\alpha<\beta)$とする．さらに，$C_2$と$2$直線$\mathrm{PQ}$，$\mathrm{PR}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(2)$S$を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(3)$S$は$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示し，その値を求めよ．

$2$つの物体$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が平面上をそれぞれ一定の速度$u,\ v$（$\mathrm{km}/$時）で$\mathrm{A}$は真東に，$\mathrm{B}$は真北に移動している．最初，$2$つの物体間の距離は$10 \, \mathrm{km}$であった．$1$時間後，その距離は$4 \, \mathrm{km}$となり，さらに$1$時間後は$12 \, \mathrm{km}$となった．$x$軸，$y$軸の正の方向をそれぞれ真東，真北として座標軸をとるとき，以下の問に答えよ．

(1)$x$軸，$y$軸上に，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の初期の位置をそれぞれ$(x,\ 0)$，$(0,\ y)$（単位は$\mathrm{km}$）として，最初，$1$時間後，$2$時間後の$\mathrm{AB}$間の距離の$2$乗を表す関係式を$x,\ y,\ u,\ v$を用いて表せ．
(2)$3$時間後の両物体間の距離を$Z$とし，$Z^2$を表す関係式を$x,\ y,\ u,\ v$を用いて表せ．
(3)$3$時間後の両物体間の距離を求めよ．
(4)両物体が平面上で衝突しないことを示せ．