次の空欄$[$19$]$～$[$37$]$にあてはまる数字を入れよ．

$xy$平面上に，双曲線$x^2-y^2=1$がある．この双曲線と直線$y=ax+3$が点$\mathrm{P}$で接している．ただし$a>0$とする．このとき，

(1)$a=\sqrt{[$19$][$20$]}$

$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( -\frac{\sqrt{[$21$][$22$]}}{[$23$]},\ -\frac{[$24$]}{[$25$]} \right)$である．

(2)この双曲線上に点$\mathrm{Q}(s,\ t)$がある．線分$\mathrm{PQ}$の中点を$\mathrm{M}$とすると，$\mathrm{M}$の座標は
\[ \left( \frac{s}{2}-\frac{\sqrt{[$26$][$27$]}}{[$28$]},\ \frac{t}{2}-\frac{[$29$]}{[$30$]} \right) \]
と表すことができる．また，$\mathrm{M}$の軌跡は双曲線$\displaystyle x^2-y^2=\frac{[$31$]}{[$32$]}$を

$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{\sqrt{[$33$][$34$]}}{[$35$]}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{[$36$]}{[$37$]}$だけ平行移動して得られる双曲線である．

$a$を正の実数として，
\[ f(x)=\frac{ax+1}{x^2+2} \]
とおく．$f(x)$は$\displaystyle x=\frac{4}{3}$で極値をとるとする．

(1)$a$の値は$[ア][イ]$である．
(2)$f(x)$の最小値は$-[ウ]$であり，そのときの$x$の値は$\displaystyle -\frac{[エ]}{[オ]}$である．
(3)$k$を実数として，座標平面上で曲線$y=f(x)$と直線$y=k$を考える．その共有点がただ$1$つになるのは，$\displaystyle k=-[カ],\ [キ],\ \frac{[ク]}{[ケ]}$のときである．

次の空欄$[$38$]$～$[$60$]$にあてはまる数字を入れよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$4$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ -1)$，$\mathrm{D}(\cos \theta,\ 0)$がある．ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．このとき，
(1)$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{[$38$]-\cos \theta}{[$39$]}$
$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る直線$\ell_1$の方程式は
\[ y=x-[$40$] \]
$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$を通る直線$\ell_2$の方程式は
\[ y=-\frac{x}{\cos \theta}+[$41$] \]
$\ell_1$と$\ell_2$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{E}$の座標は
\[ \left( \frac{[$42$] \cos \theta}{[$43$]+\cos \theta},\ \frac{-[$44$]+\cos \theta}{[$45$]+\cos \theta} \right) \]
である．
(2)$\angle \mathrm{ADO}=\angle \mathrm{BDF}$をみたす点$\mathrm{F}$を線分$\mathrm{AB}$上にとると，$\mathrm{F}$の座標は
\[ \left( \frac{[$46$] \cos \theta}{[$47$]+\cos \theta},\ \frac{[$48$]-\cos \theta}{[$49$]+\cos \theta} \right) \]
$\triangle \mathrm{ADF}$の面積を$S$とおくと，
\[ S=[$50$]-\cos \theta-\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \]
相加平均と相乗平均の関係より，
\[ [$52$]+\cos \theta+\frac{[$51$]}{[$52$]+\cos \theta} \geqq [$53$] \sqrt{$[$54$]$} \]
この等号は$\cos \theta=-[$55$]+\sqrt{[$56$]}$のとき成立する．よって
\[ [$57$]<S \leqq [$58$]-[$59$] \sqrt{[$60$]} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$3^{2014}$は$[ア]$桁の数であり，最も大きい位の数字は$[イ]$，一の位の数字は$[ウ]$である．ただし，
\[ \log_{10}2=0.3010,\quad \log_{10}3=0.4771,\quad \log_{10}7=0.8451 \]
とする．
(2)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
y \leqq -2x^2-8x-3 \\
y \geqq |3x+6| \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
で表される座標平面上の領域を$D$とする．

(i) $D$の面積は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$である．
(ii) 点$(x,\ y)$が$D$を動くとする．

\mon[$\mathrm{(a)}$] $4x+y$の最大値は$[カ]$，最小値は$[キ]$である．
\mon[$\mathrm{(b)}$] $x^2+4x+y$の最大値は$[ク]$，最小値は$[ケ]$である．

座標平面において，放物線$C:y=-x^2+3x$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x$で囲まれた領域を$S$とする．ただし，$S$は境界線を含むものとする．

(1)$C$と$\ell$の共有点は，原点$\mathrm{O}$と点$\displaystyle \left( \frac{[セ]}{[ソ]},\ \frac{[タ]}{[チ]} \right)$である．
(2)点$\mathrm{P}(-1,\ 3)$を通り傾きが$a$の直線$m$が，領域$S$と共有点をもつとする．このとき，$a$の範囲は
\[ [ツ] \leqq a \leqq [テ]+[ト] \sqrt{[ナ]} \]
である．
(3)$a=[テ]+[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき，直線$m$と領域$S$の共有点を$\mathrm{Q}$とすると，$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[ニ]+\sqrt{[ヌ]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$[ネ]+[ノ] \sqrt{[ハ]}$である．
(5)線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{PQ}$および放物線$C$で囲まれた図形の面積は
\[ \frac{[ヒ]}{[フ]}+\frac{[ヘ]}{[ホ]} \sqrt{[マ]} \]
である．

座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{A}(1,\ 0),\quad \mathrm{B}(\cos 2t,\ \sin 2t),\quad \mathrm{C}(\cos (-t),\ \sin (-t)) \]
がある．ただし，$0<t<2\pi$とする．

(1)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうち，少なくとも$2$点が一致するような$t$は全部で$[ミ]$個あり，その中で最大の$t$は$\displaystyle \frac{[ム]}{[メ]}\pi$である．

以下$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の座標がすべて異なる場合を考える．

(2)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$t$は全部で$[モ]$個あり，その中で最大の$t$は$\displaystyle \frac{[ヤ]}{[ユ]} \pi$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$を満たすような$t$は全部で$[ヨ]$個あり，その中で最大の$t$は$\displaystyle \frac{[ラ]}{[リ]} \pi$である．
(4)$\triangle \mathrm{ABC}$が$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$を満たすような$t$は全部で$[ル]$個あり，その中で最大の$t$は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロ]} \pi$である．

$xyz$空間において，$xy$平面に原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$で接し，中心が$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$であるような球面を$S$とする．点$\mathrm{P}(2 \sqrt{3},\ 0,\ 3)$に点光源をおくとき，$xy$平面上にできる$S$の影$S^\prime$を考える．

(1)点$\mathrm{P}$から球面$S$に引いた接線の一つと球面との接点を$\mathrm{A}$とする．線分$\mathrm{PA}$の長さは$\sqrt{[キ]}$である．$\angle \mathrm{CPA}=\theta$とすると，$\displaystyle \sin \theta=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)球面$S$上で光が当たる部分と影の部分との境界は，$\displaystyle \left( \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]},\ [シ],\ \frac{[ス]}{[セ]} \right)$を中心とし，半径が$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$の円である．
(3)影$S^\prime$は長軸の長さが$[チ] \sqrt{[ツ]}$の楕円の内部である．

$a>0$とする．座標平面上に$2$つの放物線$C_1:y=x^2-2x+2$と$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2+ax-\frac{3}{2}$がある．放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(2,\ 2)$を通り，点$\mathrm{P}$での接線に直交する直線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$つの放物線$C_1,\ C_2$が共有点をもたないとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)直線$\ell$が放物線$C_2$に接しているとき，$a$の値と接点の座標を求めよ．
(4)$a$を$(3)$で求めた値としたとき，直線$\ell$と放物線$C_1,\ C_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$の値を求めよ．

座標平面上に放物線$\displaystyle y=x^2+\frac{1}{16}$と円$x^2+y^2-3y+1=0$がある．このとき，次の問に答えよ．

(1)円の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円の中心と円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$を通る直線の傾きを求めよ．
(3)円周上の点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{1}{2} \right)$における円の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$で求めた接線と放物線のすべての交点の座標を求めよ．
(5)$(3)$で求めた接線と放物線で囲まれた部分の面積を求めよ．

次の$[あ]$～$[お]$に当てはまるものを，下の選択肢から選べ．

(1)$\displaystyle x=-\frac{2}{3}$は$3x^2-13x-10=0$であるための$[あ]$
(2)$n$を自然数とする．$n^2$が$5$の倍数であることは，$n$が$5$の倍数であるための$[い]$
(3)$a,\ b$を自然数とする．$(a+b)^2$が奇数であることは，$ab$が偶数であるための$[う]$
(4)平面上の異なる$2$つの円$C$，$C^\prime$の半径をそれぞれ$r$，$r^\prime$とし，中心間の距離を$d$とする．ただし，$r<r^\prime$とする．このとき，$C$と$C^\prime$が共有点をもたないことは，$d>r+r^\prime$であるための$[え]$
(5)$\mathrm{AB}=8$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CA}=7$の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{CD}=4$となる点$\mathrm{D}$をとり，辺$\mathrm{AC}$上に$\mathrm{AE}=3$となる点$\mathrm{E}$をとる．このとき，辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{F}$に対して，$\mathrm{AF}=3$であることは，$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が一直線上にあるための$[お]$
選択肢：

\mon[$①$] 必要条件であるが十分条件ではない．
\mon[$②$] 十分条件であるが必要条件ではない．
\mon[$③$] 必要十分条件である．
\mon[$④$] 必要条件でも十分条件でもない．