座標平面上を動く点$\mathrm{P}$が原点$(0,\ 0)$を出発して，$1$枚の硬貨を投げて表が出たら$x$軸方向の正の向きに$1$だけ進み，裏が出たら$y$軸方向の正の向きに$1$だけ進むとき，次の問いに答えよ．

(1)硬貨を$4$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率を求めよ．
(2)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．
(3)硬貨を$9$回投げたとき，$\mathrm{P}$が点$(2,\ 2)$を通らずに，点$(5,\ 4)$に到達する確率を求めよ．

$4$つの角がすべて$\pi$未満である平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{CD}=10$とする．また，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$は互いに直交し，$\mathrm{AC}=12$，$\mathrm{BD}=9$とする．$\angle \mathrm{BAC}=x$，$\angle \mathrm{BDC}=y$，$\angle \mathrm{CBD}=\alpha$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$\sin x$および$\sin y$の値を求めよ．
(2)$\sin \alpha$および$\cos \alpha$の値を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{BA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}$の値を求めよ．

条件$\log_2 (y-1)=\log_2 (x-2)+\log_2 (x-3)$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合が$xy$平面上に描く曲線を$A$とする．次の問に答えよ．

(1)曲線$A$を図示せよ．
(2)直線$y=\alpha x+\beta$が曲線$A$の接線であるとき，$\alpha$と$\beta$の間に成り立つ関係式を求めよ．また，$\alpha$と$\beta$の取り得る値の範囲を求めよ．
(3)直線$y=ax+b$が曲線$A$と共有点をもたないような$a,\ b$の条件を求めよ．

平面上の$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(3,\ 2)$と直線$L:y=ax+1$に対して，$\mathrm{P}$と$L$の距離を$p$とし，$\mathrm{Q}$と$L$の距離を$q$とする．$a$が実数全体を動くとき，$p^2+q^2$の最小値と，最小値を与える$a$を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする空間に点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 3)$，点$\mathrm{P}(4,\ 0,\ -1)$がある．線分$\mathrm{AB}$を直径とする円のうち，直線$\mathrm{OA}$と$2$点で交わるものを円$S$とし，点$\mathrm{A}$以外の交点を$\mathrm{C}$とする．

(1)点$\mathrm{C}$の座標は$([チ],\ [ツ],\ [テ])$である．
(2)円$S$を含む平面と，点$\mathrm{P}$からこの平面におろした垂線との交点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[ト]}{[ナ]},\ [ニ],\ -\frac{3}{2} \right)$である．

平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 0)$および直線$\ell:x+y=2$がある．直線$\ell$上に点$\mathrm{P}(t,\ -t+2)$をとる．次の各問に答えよ．

(1)$\angle \mathrm{APB}=\theta$とおく．このとき，常に$\displaystyle 0 \leqq \theta<\frac{\pi}{2}$となることがわかっている．
$(1$-$1)$ $t=-2$のとき，$\tan \theta$の値を求めよ．
$(1$-$2)$ $\tan \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{APB}=\theta$を最大にする点$\mathrm{P}$の座標，およびそのときの$\tan \theta$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に

放物線$C_1:y=x^2$，円$C_2:x^2+(y-a)^2=1 \quad (a \geqq 0)$

がある．$C_2$の点$(0,\ a+1)$における接線と$C_1$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\triangle \mathrm{OAB}$が$C_2$に外接しているとする．次の問に答えよ．

(1)$a$を求めよ．
(2)点$(s,\ t)$を$(-1,\ a)$，$(1,\ a)$，$(0,\ a-1)$と異なる$C_2$上の点とする．そして点$(s,\ t)$における$C_2$の接線と$C_1$との$2$つの交点を$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$とする．このとき，${(\alpha-\beta)}^2-\alpha^2 \beta^2$は$s,\ t$によらない定数であることを示せ．
(3)$(2)$において，点$\mathrm{P}(\alpha,\ \alpha^2)$から$C_2$への$2$つの接線が再び$C_1$と交わる点を$\mathrm{Q}(\beta,\ \beta^2)$，$\mathrm{R}(\gamma,\ \gamma^2)$とする．$\beta+\gamma$および$\beta\gamma$を$\alpha$を用いて表せ．
(4)$(3)$の$2$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に対し，直線$\mathrm{QR}$は$C_2$と接することを示せ．

下図は，半径$1$の円を底面とする高さ$1$の円柱を，底面に垂直な平面で切り取ったものである．ここで，線分$\mathrm{OA}$は底面に垂直である．また，点$\mathrm{B}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$は点$\mathrm{A}$を通り線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面上にあり，線分$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BE}$は垂直である．さらに，$\mathrm{F}$は線分$\mathrm{BE}$の中点であり，$\displaystyle \mathrm{AF}=\frac{3}{2}$である．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{X}$をとり，$\mathrm{OX}=t$とする．$\mathrm{X}$を通り，線分$\mathrm{OA}$に垂直な平面と線分$\mathrm{EC}$との交点を$\mathrm{G}$とする．
（図は省略）

(1)$\mathrm{BF}$を求めよ．
(2)$\mathrm{XG}$を$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}$から$\mathrm{A}$まで動くとき，線分$\mathrm{XG}$を線分$\mathrm{OA}$の周りに回転してできる図形が通過してできる立体の体積$V$を求めよ．

$xy$平面上において，原点を通り傾きが正の直線を$\ell$とする．直線$\ell$上の$y$座標が$1$の点に，$x$軸の正の方向から$x$軸に平行な光線を入射したとき，光線は直線$\ell$と$x$軸で次々と反射を繰り返し，$n$回目に反射した後，入射した経路を逆に進んだとする．このときの直線$\ell$と$x$軸とのなす角を$\theta$とする．直線$\ell$での最初の反射を$1$回目，反射した点を$\mathrm{P}_1$とし，その後光線が反射した点を$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots,\ \mathrm{P}_n$とする．また，$0^\circ<\theta<{90}^\circ$とする．

(1)$\theta={30}^\circ$のときの$\mathrm{P}_n$の座標は$[$4$]$である．
(2)$\theta$のうち，その値が整数となるものは全部で$[$5$]$個ある．
(3)$\mathrm{P}_1$から$\mathrm{P}_n$までの光の経路の長さは$[$6$]$である．

$p,\ q$を実数とする$t$に関する$2$次方程式$t^2+pt+q=0$の解が虚数になるとき，次の問いに答えよ．

(1)解の$1$つを$\alpha$とするとき，$\alpha (2-\alpha)$が実数でありかつ$\alpha (2-\alpha)<2$となるための$p,\ q$の条件を求めよ．
(2)虚部が負の解を$\beta$とする．$(1)$の条件のもとで$\beta (1-\beta)$の実部を$y$，虚部を$x$として，座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡を求めよ．
(3)$(2)$で求めた軌跡上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$と定点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$との距離が最小となるときの点$\mathrm{P}$の座標と距離$\mathrm{PQ}$を求めよ．