立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．辺$\mathrm{FG}$上に$\mathrm{FS}:\mathrm{SG}=t:(1-t) (0<t<1)$をみたす点$\mathrm{S}$をとる．また，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{S}$を通る平面と辺$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{z}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QRS}={120}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．

実数$a,\ b,\ \theta$に対して，行列$A,\ R$を以下のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\quad R=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
また$xy$平面内の相異なる$2$点$\mathrm{P}_0(p_x,\ p_y)$および$\mathrm{Q}_0(q_x,\ q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$の像をそれぞれ$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$とし，$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)$D_0$を$p_x,\ p_y,\ q_x,\ q_y$を用いて表せ．
(2)正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$D_n$と$D_0$の比$\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$を$a,\ b$を用いて表せ．

実数$a,\ b,\ \theta$に対して，行列$A,\ R$を以下のように定める．
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right),\quad R=\left( \begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array} \right) \]
また$xy$平面内の相異なる$2$点$\mathrm{P}_0(p_x,\ p_y)$および$\mathrm{Q}_0(q_x,\ q_y)$を考える．$0$以上の整数$n$に対し，行列$A^n$の表す$1$次変換による点$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$の像をそれぞれ$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$とし，$2$点$\mathrm{P}_n$，$\mathrm{Q}_n$間の距離を$D_n$とする．ただし$A^0$は単位行列とする．

(1)$D_0$を$p_x,\ p_y,\ q_x,\ q_y$を用いて表せ．
(2)正の実数$s$に対して，$sR=A$が成り立つとき，$s$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$D_n$と$D_0$の比$\displaystyle \frac{D_n}{D_0}$を$a,\ b$を用いて表せ．

$p$を正の実数とする．関数
\[ f(x)=\int_{-1}^x \{p-\log (1+|t|)\} \, dt \]
について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．

(1)$f(x)$の極値を求めよ．
(2)$xy$平面の曲線$y=f(x)$が$x$軸の正の部分と$2$点で交わるような，$p$の値の範囲を求めよ．

$2$つの関数
\[ f(x)=x \sqrt{4-x^2} (0 \leqq x \leqq 2),\quad g(y)=\sqrt{4-y^2} (0 \leqq y \leqq 2) \]
を考える．座標平面上において，曲線$y=f(x)$を$C_1$とし，曲線$x=g(y)$を$C_2$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$との共有点の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$の最大値$M$を求めよ．
(3)$C_1$と$x$軸とで囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)点$(x,\ y)$が$C_1$上にあるとき，$x^2$を$y$を用いて表せ．
(5)$y$軸および$2$曲線$C_1$，$C_2$で囲まれた図形を，$y$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．

$a,\ b$を正の実数とする．$xy$平面内の楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上の点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．$\mathrm{P}$を媒介変数表示により$\mathrm{P}(a \cos t,\ b \sin t) (0 \leqq t<2\pi)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$に直交し，楕円$C$上の点$\mathrm{Q}(a \cos \theta,\ b \sin \theta)$ $(0<\theta<\pi)$で$C$に接する直線を$m$とする．接点$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b,\ t$を用いて表し，直線$m$の方程式を求めよ．
(3)$t$が$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$の範囲にあるとき，直線$\ell$と$(2)$で求めた直線$m$との交点を$\mathrm{R}$とする．線分$\mathrm{OR}$の長さを求めよ．ただし$\mathrm{O}$は原点とする．

$a,\ b$を実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 3 \\
a & b
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & -a
\end{array} \right)$が
\[ AB=\left( \begin{array}{cc}
10 & 5 \\
5 & 0
\end{array} \right) \]
を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．ただし答えのみでよい．
(2)$m,\ n$は実数で，$m \neq 0$，$n \neq 0$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{S}_1(m,\ 0)$，$\mathrm{S}_2(0,\ n)$をとり，行列$A$が表す$1$次変換によって$S_1$，$S_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{S}_1}^\prime$，${\mathrm{S}_2}^\prime$とする．$2$点${\mathrm{S}_1}^\prime$，${\mathrm{S}_2}^\prime$を通る直線が$2$点$\mathrm{S}_1$，$\mathrm{S}_2$を通る直線に一致するとき，$n$を$m$の式で表せ．
(3)$2$点$\mathrm{T}_1(-7,\ 0)$，$\mathrm{T}_2(0,\ 7)$を通る直線を$\ell$とする．行列$B$が表す$1$次変換によって$\mathrm{T}_1$，$\mathrm{T}_2$が移る点をそれぞれ${\mathrm{T}_1}^\prime$，${\mathrm{T}_2}^\prime$とし，$2$点${\mathrm{T}_1}^\prime$，${\mathrm{T}_2}^\prime$を通る直線を$\ell^\prime$とする．原点を中心とする半径$r$の円を$C$とする．$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わり，かつ$C$と$\ell^\prime$も異なる$2$点で交わるとする．このような$r$の値の範囲を求めよ．
(4)$(3)$において，円$C$が$\ell$を切り取る線分の長さを$L$とし，円$C$が$\ell^\prime$を切り取る線分の長さを$L^\prime$とする．このような$L,\ L^\prime$の中で，$L$が最も小さい自然数になるときの$L^\prime$の値を求めよ．

$e$は自然対数の底とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面に$3$点
\[ \mathrm{A}(e^{-\theta}+\sqrt{3},\ e^{-\theta}),\quad \mathrm{B}(\cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{C}(\sqrt{3},\ 0) \]
がある．ただし，$\theta \geqq 0$とする．次の問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$F(\theta)$とする．$F(\theta)$を求めよ．
(2)$F(\theta)$の導関数を$F^\prime(\theta)$とする．区間$0<\theta<2\pi$において$F^\prime(\theta)=0$となる$\theta$の値をすべて求めよ．
(3)$n$を自然数とする．区間$2(n-1) \pi \leqq \theta \leqq 2n\pi$における$F(\theta)$の最大値，最小値をそれぞれ$\alpha_n$，$\beta_n$とする．$\alpha_n$，$\beta_n$を求めよ．また最大値を与える$\theta$の値と最小値を与える$\theta$の値を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$\alpha_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，$\displaystyle S=\sum_{n=1}^\infty \alpha_n$とおく．$S$の値を求めよ．

平面上に異なる$3$点$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$，$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$がある．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$を$m:n$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$，$\mathrm{Q}(\overrightarrow{q})$とする．さらに線分$\mathrm{PQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}(\overrightarrow{r})$とする．$\displaystyle t=\frac{m}{m+n} (0<t<1)$とするとき，下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{r}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(2)$1$辺の長さが$1$の正三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$に対し，上のように点$\mathrm{R}$をとる．直線$\mathrm{AC}$に対して点$\mathrm{B}$と対称な位置にある点を$\mathrm{O}$とする．点$\mathrm{R}$は，点$\mathrm{O}$を中心とし半径$\mathrm{OA}$の円の外部にあることを示せ．

座標平面上に，原点を中心とする半径$1$の円と，その円に外接し各辺が$x$軸または$y$軸に平行な正方形がある．円周上の点$(\cos \theta,\ \sin \theta)$（ただし$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$）における接線と正方形の隣接する$2$辺がなす三角形の$3$辺の長さの和は一定であることを示せ．また，その三角形の面積を最大にする$\theta$を求めよ．