座標平面において，$4$直線$y=2$，$y=-4$，$x=-3$，$x=5$上にそれぞれ点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$をとる．この$4$点を頂点とする四角形が$\displaystyle \angle \mathrm{ABC}=\frac{\pi}{2}$となる正方形であるとき，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．

一辺の長さを$1$とする立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$があり，辺$\mathrm{BF}$上に点$\mathrm{P}$と辺$\mathrm{DH}$上に点$\mathrm{Q}$を$\displaystyle \mathrm{BP}=\mathrm{DQ}=\frac{3}{4}$となるようにとる．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を含む平面と直線$\mathrm{CG}$の交点を$\mathrm{R}$とする．また直線$\mathrm{PR}$と辺$\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{S}$とし，直線$\mathrm{QR}$と辺$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{T}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)四面体$\mathrm{SGTR}$の体積を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{PFS}$，$\triangle \mathrm{QTH}$，四角形$\mathrm{FSTH}$，四角形$\mathrm{PSTQ}$及び四角形$\mathrm{PFHQ}$で囲まれた図形の体積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$とする．関数
\[ y=2 \sin 2\theta-2 \sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)+2 \]
について，$t=\sin \theta+\cos \theta$とおいて，$y$を$t$の関数で表せ．また，$y$の最大値，最小値とそのときの$\theta$の値を求めよ．
(2)$3$つの不等式
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y<1 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ．

$a>0$，$a \neq 1$，$b>0$とする．このとき，変数$x$の関数
\[ f(x)=4x^2+4x \log_ab+1 \]
について，次の各問に答えよ．

(1)$2$次方程式$f(x)=0$が重解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(2)$2$次方程式$f(x)=0$が$\displaystyle 0<x<\frac{1}{2}$の範囲内にただ$1$つの解を持つようなすべての$a,\ b$を，座標平面上の点$(a,\ b)$として図示せよ．
(3)放物線$y=f(x)$の頂点の座標を$(X,\ Y)$とする．点$(a,\ b)$が$(2)$の条件を満たしながら動くとき，点$(X,\ Y)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1$，かつ$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=1$を満たすとする．ここで，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$は$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の内積を表す．また，$s$を実数とし，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-s^2) \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(1-s) \overrightarrow{\mathrm{OB}}$で定める．

(1)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MQ}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，および$s$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{MQ}}$となる$s$の値をすべて求めよ．

辺の長さが$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$である四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:8$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る平面上の点$\mathrm{G}$が，$\mathrm{EG} \perp \mathrm{DE}$，$\mathrm{FG} \perp \mathrm{DF}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．

座標平面上の点$(-2,\ 1)$を$\mathrm{A}$，点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{4}a^2 \right)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<a<2$とする．また，$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$で表される放物線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．

(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$

(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．

立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$がある．辺$\mathrm{AD}$，$\mathrm{AB}$をそれぞれ$1:3$に内分する点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．辺$\mathrm{FG}$上に$\mathrm{FS}:\mathrm{SG}=t:(1-t) (0<t<1)$をみたす点$\mathrm{S}$をとる．また，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{S}$を通る平面と辺$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{z}$とするとき，次の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$\overrightarrow{\mathrm{QR}}$を$\overrightarrow{x}$，$\overrightarrow{y}$，$\overrightarrow{z}$および$t$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{QRS}={120}^\circ$となるときの$t$の値を求めよ．

座標平面において，方程式$\displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$が表す双曲線$C$と点$\mathrm{P}(a,\ 0)$がある．ただし，$a>3$とする．点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線と双曲線$C$との交点の一つである点$\mathrm{Q}(a,\ b)$をとる．ただし，$b>0$とする．さらに，点$\mathrm{Q}$における双曲線$C$の接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}(c,\ 0)$とする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)$a$を用いて$b$を表しなさい．
(2)$a$を用いて接線$\ell$の方程式を表しなさい．
(3)$a$を用いて$c$を表しなさい．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{a \to \infty} \frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$を求めなさい．

$k$を正の実数とする．座標平面において，方程式$y=-x^2-2x-1$が表す放物線$C_1$および方程式$y=kx^2$が表す放物線$C_2$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)放物線$C_1$の接線であり，$C_2$の接線でもあるような直線は$2$つある．この$2$つの直線の方程式を求めなさい．
(2)$(1)$で求めた$2$つの直線の交点を$\mathrm{P}$とする．$k$が正の実数の範囲を動くときの$\mathrm{P}$の軌跡を求め，図示しなさい．