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国立 宮城教育大学 2014年 第2問$3$つの不等式
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y \leqq 2 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ．さらに，点$(x,\ y)$がこの領域内を動くとき，$3x+4y$の最大値とそれを与える$x,\ y$の値を求めよ．
\[ \log_y (x^2-3x+2) \leqq 1,\quad 0<x \leqq 3,\quad 0<y \leqq 2 \]
を同時にみたす領域を$xy$平面上に図示せよ．さらに，点$(x,\ y)$がこの領域内を動くとき，$3x+4y$の最大値とそれを与える$x,\ y$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 東京海洋大学 2014年 第3問座標平面上の曲線$C:y=x^3-x$を考える．$C$上の点$(-a,\ -a^3+a)$と$(a,\ a^3-a)$ $(a>0)$における$C$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．また，$\ell_1$と$C$との$(-a,\ -a^3+a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_1$，$\ell_2$と$C$との$(a,\ a^3-a)$以外の共有点を$\mathrm{P}_2$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_1$の交点を$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{P}_1$を通り$y$軸に平行な直線と$\ell_2$の交点を$\mathrm{Q}_2$とする．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$の座標を求めよ．
(2)$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線と$C$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を$S_1$，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+D$（$D$は積分定数）を用いてよい．
(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$の座標を求めよ．
(2)$2$点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線と$C$で囲まれる$2$つの図形の面積の和を$S_1$，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{Q}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{Q}_2$の面積を$S_2$とする．$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$を求めよ．ただし，$\displaystyle \int x^3 \, dx=\frac{x^4}{4}+D$（$D$は積分定数）を用いてよい．
国立 山形大学 2014年 第4問座標平面上の$1$次変換$f$は点$(1,\ 2)$を点$\displaystyle \left( \frac{1}{2}-\sqrt{3},\ 1+\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に，点$(3,\ 4)$を点$\displaystyle \left( \frac{3}{2}-2 \sqrt{3},\ 2+\frac{3 \sqrt{3}}{2} \right)$に移すとする．$\mathrm{O}$を原点として，次の問に答えよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)$1$次変換$f$を表す行列$A$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}(1,\ 0)$が$f$により点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\angle \mathrm{POQ}$を求めよ．また線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{R}$を$(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$で定める$\displaystyle \left( 0<\theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$．$f$により，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{S}$に，点$\mathrm{S}$は点$\mathrm{T}$に，点$\mathrm{T}$は点$\mathrm{U}$に，点$\mathrm{U}$は点$\mathrm{V}$に移るとする．
(i) 三角形$\mathrm{ORS}$の面積を求めよ．
(ii) 点$(2,\ 0)$と点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を頂点とする六角形の面積$H(\theta)$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 宮城教育大学 2014年 第3問辺の長さが$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$である四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:8$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る平面上の点$\mathrm{G}$が，$\mathrm{EG} \perp \mathrm{DE}$，$\mathrm{FG} \perp \mathrm{DF}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．
国立 防衛医科大学校 2014年 第3問$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{AD}=4$，$\mathrm{AE}=1$である図のような直方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において，辺$\mathrm{CG}$，$\mathrm{CD}$，$\mathrm{AD}$をそれぞれ$1-p:p (0<p<1)$に分ける点を$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$とする．点$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$が作る平面を$L$，$L$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$を通る直線との交点，$2$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る直線との交点，$2$点$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$を通る直線との交点をそれぞれ$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$として以下の問に答えよ．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AU}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AV}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AW}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$がそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$上にあることを示せ．
(2)六角形$\mathrm{UVWXYZ}$の面積はいくらか．
（図は省略）
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AU}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AV}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AW}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表し，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$，$\mathrm{W}$がそれぞれ辺$\mathrm{AE}$，$\mathrm{EF}$，$\mathrm{FG}$上にあることを示せ．
(2)六角形$\mathrm{UVWXYZ}$の面積はいくらか．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数$n$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし，線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
国立 香川大学 2014年 第2問座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}$を第$1$象限に，点$\mathrm{B}$を$x$軸の正の部分に，$\mathrm{AO}=\mathrm{AB}=1$となるようにとる．このとき，次の問に答えよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
(1)二等辺三角形$\mathrm{AOB}$の底角を$\theta$とするとき，頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る放物線を$C:y=f(x)$とする．このとき，$f(x)$を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)面積$S$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．
国立 香川大学 2014年 第3問自然数$n$に対して，座標平面上の点$\mathrm{P}_n$を次のように帰納的に定める．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(1,\ 1)$とし，原点$\mathrm{O}$を中心として線分$\mathrm{OP}_n$を反時計回りに${90}^\circ$回転させてできる線分を$\mathrm{OQ}_n$とし，線分$\mathrm{OQ}_n$の中点を$\mathrm{P}_{n+1}$とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．
(1)点$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$の座標を求めよ．
(2)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{P}_{4k+1}$の座標を$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{X}_n$を
\[ \overrightarrow{\mathrm{OX}}_n=\overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n \]
となるように定める．このとき，点$\mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_5$の座標を求めよ．また，線分$\mathrm{OX}_1$，$\mathrm{X}_1 \mathrm{X}_2$，$\mathrm{X}_2 \mathrm{X}_3$，$\mathrm{X}_3 \mathrm{X}_4$，$\mathrm{X}_4 \mathrm{X}_5$を座標平面上に図示せよ．
(4)$k$を自然数とするとき，点$\mathrm{X}_{4k}$の座標を$k$を用いて表せ．