$xy$平面上に$x=2 \cos 2\theta$，$y=2 \cos 3\theta (0 \leqq \theta \leqq \pi)$と媒介変数表示された曲線$C$を考える．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$において，$y$を$x$の式で表せ．また，$\displaystyle \frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \pi$において，$y$を$x$の式で表せ．
(2)曲線$C$の概形を描け．
(3)曲線$C$が囲む領域の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数とし，放物線$y=x(x-a)$を$C$とする．次の問いに答えよ．

(1)$C$上の点$(t,\ t(t-a))$における$C$の接線の方程式を求めよ．
(2)点$(b,\ 0)$から$C$に，相異なる$2$本の接線が引けるとする．このとき$a,\ b$がみたす不等式を求め，その不等式が表す領域を，$ab$平面に図示せよ．
(3)$C$と$x$軸が囲む部分の面積を$S(a)$とする．関数$y=S(a) (-2 \leqq a \leqq 2)$のグラフをかけ．

不等式
\[ \log_x y<2+3 \log_y x \]
の表す領域を座標平面上に図示せよ．

次の連立不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^2+y^2 \leqq 3 \\
x^2+y^2+6y \geqq 3
\end{array} \right. \]
このとき，次の問いに答えよ．

(1)領域$D$を座標平面上に図示せよ．
(2)領域$D$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{ABCD}$に対し，辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{F}$，辺$\mathrm{BD}$を$t:(1-t)$の比に内分する点を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{CD}$を$u:(1-u)$の比に内分する点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$0<t<1$，$0<u<1$とする．次の問いに答えよ．

(1)$4$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一平面上にあるならば，$t=u$が成り立つことを示せ．
(2)$t=u$のとき，$\mathrm{EF}^2+\mathrm{FH}^2+\mathrm{HG}^2+\mathrm{GE}^2$の値の範囲を求めよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-6,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -8)$，$\mathrm{C}(15,\ 28)$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の方程式をそれぞれ求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を求めなさい．
(6)$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線の方程式を求めなさい．

以下の問いに答えよ．

(1)$x$についての$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の異なる実数解の個数が$2$個であるとき，実数$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(2)$x$についての$4$次方程式$x^4+ax^2+b=0$の異なる実数解の個数が$4$個であるとき，実数$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(3)$x$についての$4$次方程式$x^4+ax^2+b=0$の異なる実数解の個数が$2$個であるとき，実数$a,\ b$のみたす条件を求めよ．
(4)$a,\ b$が$(3)$の条件をみたすとき，点$(a,\ b)$の存在する領域を$ab$平面上に図示せよ．

次の各問いに答えよ．

(1)座標平面上での原点を中心とする${150}^\circ$の回転移動を表す行列を$P$とする．点$(x,\ y)$が$P$の表す移動によって，点$(2,\ 4)$に移ったとする．このとき，点$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$(1)$で与えられた行列$P$を考える．$P^n=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$を満たす最小の自然数$n$を求めよ．
(3)以下の各命題の反例をあげよ．また，反例になっていることを示せ．ただし，$X,\ Y$は$2$次の正方行列とする．

(i) $XY=YX$が成立する．
(ii) $XY=O$ならば，$X=O$または$Y=O$である．ただし，$O$は$2$次の零行列を表す．
(iii) $A$を逆行列$A^{-1}$をもつ$2$次の正方行列とする．このとき，$AX=Y$ならば，$X=YA^{-1}$である．

整数$m,\ n$は$m \geqq 1$，$n \geqq 2$をみたすとする．次の問いに答えよ．

(1)$x>0$のとき，$y=\log x$の第$1$次導関数$y^\prime$と第$2$次導関数$y^{\prime\prime}$を求めよ．
(2)座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(m,\ \log m)$，$\mathrm{B}(m+1,\ \log m)$，$\mathrm{C}(m+1,\ \log (m+1))$を頂点とする三角形の面積を$S_m$とする．$S_m$を$m$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle f(m)=\log m+S_m-\int_m^{m+1} \log x \, dx$とおく．$f(m)<0$が成り立つことを，$y=\log x$のグラフを用いて説明せよ．
(4)$f(1)+f(2)+\cdots +f(n-1)<0$であることを用いて，不等式
\[ \log 1+\log 2+\cdots +\log (n-1)<n \log n-n+1-\frac{1}{2} \log n \]
を証明せよ．
(5)不等式$\displaystyle n!<e \sqrt{n} \left( \frac{n}{e} \right)^n$を証明せよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

空間において$1$点$\mathrm{O}$を固定し，$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが$\overrightarrow{p}$である点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}(\overrightarrow{p})$で表す．$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(\overrightarrow{a})$，$\mathrm{B}(\overrightarrow{b})$，$\mathrm{C}(\overrightarrow{c})$を頂点とする四面体$\mathrm{OABC}$において，線分$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{BC}$を$s:1-s (0<s<1)$に内分する点をそれぞれ$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$とする．また，$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とし，$\displaystyle \overrightarrow{h}=\overrightarrow{a}-\frac{9}{16} \overrightarrow{b}+\frac{9}{16} \overrightarrow{c}$を位置ベクトルとする平面$\alpha$上の点を$\mathrm{H}(\overrightarrow{h})$とする．$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{OB}=3 \sqrt{2}$，$\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=4$，$\mathrm{AC}=5$として，次に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$，$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$s$を用いて表せ．また，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$の定める平面が点$\mathrm{H}$を通るときの$s$の値を求めよ．
(4)$s$を$(3)$で求めた値とするとき，四面体$\mathrm{OAFC}$の体積$V$を求めよ．