座標平面上に，円$C:(x-1)^2+(y-1)^2=1$と点$\mathrm{Q}(1,\ 2)$がある．点$\mathrm{P}_1$の座標を$(3,\ 0)$とし，$x$軸上の点$\mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$を以下の条件によって決め，$\mathrm{P}_n$の座標を$(p_n,\ 0)$とする．

点$\mathrm{P}_n$から円$C$に接線を引き，その$y$座標が正である接点を$\mathrm{T}_n$とする．このとき，$3$点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{T}_n$，$\mathrm{P}_{n+1}$は同一直線上にある．（$n=1,\ 2,\ \cdots$）

このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{T}_1$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_2$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{T}_n$の座標を$p_n$の式で表せ．
(4)点$\mathrm{P}_n$の座標を$n$の式で表せ．

以下の問いに答えよ．

(1)$t>0$のとき
\[ e^t>1+t+\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{6} \]
が成り立つことを示せ．
(2)座標平面上の点$(0,\ a)$を通って曲線$y=xe^x$に何本の接線が引けるか求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)すべての実数$x,\ y$に対して$x^2+y^2+2axy+2bx+1 \geqq 0$が成り立つとする．このとき，実数$a,\ b$が満たすべき条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$のなす領域を座標平面上に図示せよ．
(2)$(1)$の領域を点$(a,\ b)$が動くとき$a^2+b$の最大値と最小値を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{PC}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{OQ}$を$m:n$に内分する点を$\mathrm{R}$とする．ただし，$m>0$，$n>0$とする．さらに直線$\mathrm{AR}$が平面$\mathrm{OBC}$と交わる点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおいて以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$，$m$，$n$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RS}}$を$m,\ n$を用いて表せ．

下図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$が$xyz$空間内にあり，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 3,\ 0)$，$\mathrm{D}(-1,\ 0,\ \sqrt{6})$とする．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{DG}$上の点$\mathrm{N}$を$\mathrm{MN}=4$かつ$\mathrm{DN}<\mathrm{GN}$を満たすように定める．

(1)$\mathrm{N}$の座標を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面と$y$軸との交点$\mathrm{P}$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{E}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$を通る平面による平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$の切り口の面積を求めよ．
（図は省略）

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 & 3
\end{array} \right)$の表す一次変換を$f$とする．

(1)$0 \leqq \theta<2\pi$のとき，点$\mathrm{P}(2+\cos \theta,\ \sin \theta)$を$f$で移した点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)不等式$a_1 \leqq x \leqq a_2$，$b_1 \leqq y \leqq b_2$の表す領域を$T$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$T$に入るとする．$T$の面積が最小となるときの$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を求めよ．
(3)不等式$(x-2)^2+(y-4)^2 \leqq r^2$の表す領域を$H$とする．$0 \leqq \theta<2\pi$を満たすすべての$\theta$に対して，$(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$が領域$H$に入るとする．このとき，正の数$r$の最小値を求めよ．

不等式$1 \leqq x^2+y^2 \leqq 4$が表す$xy$平面内の領域を$D$とする．$\mathrm{P}$を円$x^2+y^2=1$上の点，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$を円$x^2+y^2=4$上の異なる$2$点とし，三角形$\mathrm{PQR}$は領域$D$に含まれているとする．$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換により$\mathrm{P}$は$\mathrm{P}^\prime$，$\mathrm{Q}$は$\mathrm{Q}^\prime$，$\mathrm{R}$は$\mathrm{R}^\prime$に移されるとする．このとき，三角形$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$が領域$D$に含まれるための$a,\ b$の必要十分条件を求めよ．ただし，三角形は内部も含めて考えるものとする．

$xy$平面上の曲線$C:y=x \sin x+\cos x-1 (0<x<\pi)$に対して，以下の問いに答えよ．ただし$\displaystyle 3<\pi<\frac{16}{5}$であることは証明なしで用いてよい．

(1)曲線$C$と$x$軸の交点はただ$1$つであることを示せ．
(2)曲線$C$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}(\alpha,\ 0)$とする．$\displaystyle \alpha>\frac{2}{3}\pi$であることを示せ．
(3)曲線$C$，$y$軸および直線$\displaystyle y=\frac{\pi}{2}-1$で囲まれる部分の面積を$S$とする．また，$xy$平面の原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}$および曲線$C$上の点$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}-1 \right)$を頂点とする三角形$\mathrm{OAB}$の面積を$T$とする．$S<T$であることを示せ．

平面上の直線$\ell$に同じ側で接する$2$つの円$C_1$，$C_2$があり，$C_1$と$C_2$も互いに外接している．$\ell$，$C_1$，$C_2$で囲まれた領域内に，これら$3$つと互いに接する円$C_3$を作る．同様に$\ell$，$C_n$，$C_{n+1} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で囲まれた領域内にあり，これら$3$つと互いに接する円を$C_{n+2}$とする．円$C_n$の半径を$r_n$とし，$\displaystyle x_n=\frac{1}{\sqrt{r_n}}$とおく．このとき，以下の問いに答えよ．ただし，$r_1=16$，$r_2=9$とする．

(1)$\ell$が$C_1$，$C_2$，$C_3$と接する点を，それぞれ$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$とおく．線分$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_3$の長さおよび$r_3$の値を求めよ．
(2)ある定数$a,\ b$に対して$x_{n+2}=ax_{n+1}+bx_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．$a,\ b$の値も求めよ．
(3)$(2)$で求めた$a,\ b$に対して，$2$次方程式$t^2=at+b$の解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とする．$x_1=c \alpha^2+d \beta^2$を満たす有理数$c,\ d$の値を求めよ．ただし，$\sqrt{5}$が無理数であることは証明なしで用いてよい．
(4)$(3)$の$c,\ d,\ \alpha,\ \beta$に対して，
\[ x_n=c \alpha^{n+1}+d \beta^{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
となることを示し，数列$\{r_n\}$の一般項を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
（図は省略）

$xy$平面上に楕円
\[ C_1:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1 \quad (a>\sqrt{13}) \]
および双曲線
\[ C_2:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (b>0) \]
があり，$C_1$と$C_2$は同一の焦点をもつとする．また$C_1$と$C_2$の交点
\[ \mathrm{P} \left( 2 \sqrt{1+\frac{t^2}{b^2}},\ t \right) \quad (t>0) \]
における$C_1$，$C_2$の接線をそれぞれ$\ell_1$，$\ell_2$とする．

(1)$a$と$b$の間に成り立つ関係式を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$が直交することを示せ．
(3)$a$が$a>\sqrt{13}$を満たしながら動くときの点$\mathrm{P}$の軌跡を図示せよ．