座標平面上の楕円
\[ \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1 \quad \cdots\cdots① \]
を考える．以下の問いに答えよ．

(1)楕円$①$と直線$y=x+a$が交点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$|x|+|y|=1$を満たす点$(x,\ y)$全体がなす図形の概形をかけ．
(3)点$(x,\ y)$が楕円$①$上を動くとき，$|x|+|y|$の最大値，最小値とそれを与える$(x,\ y)$をそれぞれ求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．

(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

平面上に半径$1$と半径$2$の同心円$C_1$と$C_2$がある．自然数$n$に対して，$C_2$の周を$3n$等分する$3n$個の点がある．この$3n$個の点の中から異なる$3$点を選ぶとき，次の$(*)$をみたす選び方の総数を$a_k (k=0,\ 1,\ 2,\ 3)$とする．

$(*)$ 選んだ$3$点を頂点とする三角形の辺のうち，ちょうど$k$個が$C_1$の周と共有点をもつ．

次の問いに答えよ．

(1)$n=2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を求めよ．
(2)$n \geqq 2$のとき，$a_0,\ a_1,\ a_2,\ a_3$を$n$の式で表せ．

$u$を実数とする．座標平面上の$2$つの放物線
\[ \begin{array}{ll}
C_1: & y=-x^2+1 \\
C_2: & y=(x-u)^2+u
\end{array} \]
を考える．$C_1$と$C_2$が共有点をもつような$u$の値の範囲は，ある実数$a,\ b$により，$a \leqq u \leqq b$と表される．

(1)$a,\ b$の値を求めよ．
(2)$u$が$a \leqq u \leqq b$をみたすとき，$C_1$と$C_2$の共有点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．ただし，共有点が$1$点のみのときは，$\mathrm{P}_1$と$\mathrm{P}_2$は一致し，ともにその共有点を表すとする．
\[ 2 |x_1y_2-x_2y_1| \]
を$u$の式で表せ．
(3)$(2)$で得られる$u$の式を$f(u)$とする．定積分
\[ I=\int_a^b f(u) \, du \]
を求めよ．

$xy$平面上に曲線$C:y=x^2$がある．$C$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{PQ}=2$をみたしながら動くとき，$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$D$の方程式を求めよ．
(2)$C$，$D$，$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+ax^2+x-2$と直線$\ell:y=bx-2$が異なる$3$点で交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$3$つの交点それぞれにおける$C$の接線の中に，傾きが$1$より大きいものと，$1$より小さいものがどちらも存在するための$a,\ b$の条件を求め，その条件をみたす$ab$平面上の点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．

(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

$xy$平面上で，媒介変数$\theta$により
\[ x=\sqrt{\cos 2\theta} \cos \theta,\quad y=\sqrt{\cos 2\theta} \sin \theta \quad \left( -\frac{\pi}{4} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4} \right) \]
と表される曲線を$C$とする．

(1)曲線$C$上で$y$座標が最大となる点の座標を$(p,\ q)$とする．$(p,\ q)$を求めよ．
(2)曲線$C$で囲まれた図形のうち$x \geqq p$の部分の面積を求めよ．ただし，$p$は$(1)$で求めた$x$座標である．

空間において，原点$\mathrm{O}$を通らない平面$\alpha$上に一辺の長さ$1$の正方形があり，その頂点を順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \]
が，平面$\alpha$と垂直であることを示せ．

空間において，原点$\mathrm{O}$を通らない平面$\alpha$上に一辺の長さ$1$の正方形があり，その頂点を順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．このとき，以下の問に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$のとき，ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}+\overrightarrow{\mathrm{OD}} \]
が，平面$\alpha$と垂直であることを示せ．