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首都大学東京 公立 首都大学東京 2015年 第4問
座標平面において曲線$y=k(1-x^2)-1$($k$は正の定数)を$C_1$とし,曲線$y=1-|x|$を$C_2$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1)$C_1$は$k$の値によらない定点を通る.この定点の座標をすべて求めなさい.
(2)$C_1$と$C_2$が共有点をもつような正の定数$k$の値の範囲を求めなさい.
(3)正の定数$k$が$(2)$で求めた範囲にあるとき,$C_1$と$C_2$の共有点の個数を求めなさい.
首都大学東京 公立 首都大学東京 2015年 第3問
座標平面において楕円$\displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$を$C$とする.このとき,以下の問いに答えなさい.

(1)$C$に接する傾き$m$の直線の方程式をすべて求めなさい.
(2)すべての辺が$C$に接する長方形の$1$辺の傾きが$m$であるとする.この長方形の面積$S(m)$を求めなさい.
(3)$m$がすべての実数を動くとき,$(2)$で求めた$S(m)$の最大値を求めなさい.
首都大学東京 公立 首都大学東京 2015年 第3問
座標平面において曲線$\displaystyle y=\frac{3}{x^2+3}$を$C_1$,曲線$y=x^2+k$($k$は定数)を$C_2$とする.$C_1$と$C_2$のすべての共有点において互いの接線が直交しているとき,以下の問いに答えなさい.

(1)定数$k$の値を求めなさい.また,$C_1$と$C_2$のすべての共有点の座標を求めなさい.
(2)$C_1$と$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めなさい.
大阪市立大学 公立 大阪市立大学 2015年 第1問
座標平面上に$2$点$\mathrm{P}(0,\ 2)$,$\mathrm{Q}(1,\ 0)$をとる.また,$t$を実数とし,放物線$y=(x-t)^2$を$C$とする.次の問いに答えよ.

(1)$C$が$\mathrm{P}$を通るときの$t$の値を求めよ.
(2)$C$が直線$\mathrm{PQ}$に接するときの$t$の値と接点の座標を求めよ.
(3)線分$\mathrm{PQ}$と$C$の共有点の個数が$t$によりどのように変化するか記述せよ.
大阪市立大学 公立 大阪市立大学 2015年 第3問
$m>0$とする.座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して,$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とし,点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{RP}}$となるように定める.次の問いに答えよ.

(1)$\mathrm{P}$の座標を$(a,\ b)$とするとき,$\mathrm{Q}$の座標を$m,\ a,\ b$を用いて表せ.
(2)点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2-x$上を動くとき,対応する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする.$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき,$f(x)$を求めよ.
(3)$(2)$の$f(x)$に対し,$\displaystyle I(m)=\int_0^m f(x) \, dx$とする.$m$を$m>0$の範囲で変化させるとき,$I(m)$を最小にする$m$の値を求めよ.
大阪市立大学 公立 大阪市立大学 2015年 第1問
$a>0$,$b>0$とする.$xy$平面において,原点を通る傾き正の直線が,直線$y=-a$と交わる点を$\mathrm{P}$とし,直線$x=b$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする.$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし,線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とおくとき,次の問いに答えよ.

(1)$L^2$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ.
(2)$a,\ b$を定数とし,$p$を$p<0$の範囲で変化させるとき,$L^2$を最小にする$p$の値を求めよ.
(3)$(2)$で求めた$p$の値を$p_0$とする.また,$c$を$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$を満たす正の実数とする.$p=p_0$のときの$L^2$の値を$c$を用いて表せ.
公立はこだて未来大学 公立 公立はこだて未来大学 2015年 第1問
以下の問いに答えよ.

(1)$a,\ b$を実数とする.また,実数$x$に対する$2$つの条件$x(x^2+ax+b)=0$と$x=0$が,互いに同値であるとする.このとき,$a$と$b$がみたす関係を求め,点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面に図示せよ.
(2)方程式$20 \cdot {15}^{-x}+{225}^x-21=0$を解け.
公立はこだて未来大学 公立 公立はこだて未来大学 2015年 第3問
座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし,放物線$y=x^2$の上を相異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$,$\mathrm{B}(b,\ b^2)$は$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるように動くとする.また,点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする.以下の問いに答えよ.

(1)$a$と$b$がみたす関係を求めよ.
(2)直線$\ell$の方程式を$y=px+q$とする.$q$の値を求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする.点$\mathrm{H}$の軌跡を求めよ.
大阪市立大学 公立 大阪市立大学 2015年 第4問
$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている.線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし,線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい.次の問いに答えよ.

(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ.
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ.
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする.点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ.
(4)$K$の体積を求めよ.
滋賀県立大学 公立 滋賀県立大学 2015年 第2問
$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある.$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き,その接点を$\mathrm{P}$とし,半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる.

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ.
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ.
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$,$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき,$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ.
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