座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線$C$を考える．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x=|\cos t| \cos^3 t \\
y=|\sin t| \sin^3 t \phantom{\frac{\mkakko{}}{2}}
\end{array} \right. \hspace{-8mm}(0 \leqq t \leqq 2\pi) \]
このとき以下の各問いに答えよ．

(1)次の条件$(*)$を満たす第$1$象限内の定点$\mathrm{F}$の座標を求めよ．
$(*)$ 第$1$象限内で$C$上にあるすべての点$\mathrm{P}$について，$\mathrm{P}$から直線$x+y=0$に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とするとき，つねに$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$となる．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$全体を動くとき，$\mathrm{P}$と$(1)$の定点$\mathrm{F}$を結ぶ線分$\mathrm{PF}$が通過する領域を図示し，その面積を求めよ．
(3)$(2)$の領域を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．

$u$を任意の実数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(u,\ u-1)$を通り，曲線$y=x^2$に接する直線は，ちょうど$2$本あることを示せ．
(2)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$の接点を，それぞれ$\mathrm{A}(\alpha,\ \alpha^2)$，$\mathrm{B}(\beta,\ \beta^2)$とするとき，$\alpha$と$\beta$をそれぞれ$u$の式で表せ．ただし，$\alpha<\beta$とする．
(3)$(1)$における$2$直線と曲線$y=x^2$で囲まれた図形の面積を$S$とするとき，$S$を$u$の式で表せ．
(4)$(3)$で求めた面積$S$の最小値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(2,\ -1,\ 3)$，$\mathrm{B}(1,\ 1,\ 2)$，$\mathrm{C}(4,\ 1,\ -1)$を通る平面が$x$軸と交わる点の座標を求めよ．
(2)$0 \leqq x<2\pi$のとき，方程式$\displaystyle 1-\cos^2 x=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 2x$を解け．
(3)方程式$3(4^x+4^{-x})-13(2^x+2^{-x})+16=0$を解け．

座標平面上の$3$点$\mathrm{A}(\sqrt{3},\ -2)$，$\mathrm{B}(3 \sqrt{3},\ 0)$，$\mathrm{C}(4 \sqrt{3},\ -5)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{D}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{[サ]}{[シ]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[ス]}{[セ]} \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
である．また，直線$\mathrm{AD}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{EC}}=\frac{[ソ]}{[タ]}$である．

座標空間内の原点$\mathrm{O}$，$z$座標が正である点$\mathrm{P}_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$を頂点とする立方体$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3-\mathrm{P_4}\mathrm{P_5}\mathrm{P_6}\mathrm{P_7}$を考える．点$\mathrm{P}_1$の座標は$(2,\ 5,\ 4)$であり，点$\mathrm{P}_3$は$zx$平面上にあるとする．このとき，点$\mathrm{P}_3$の座標は$[ソ]$，点$\mathrm{P}_4$の座標は$[タ]$，点$\mathrm{P}_6$の座標は$[チ]$である．点$\mathrm{P}_k (k=1,\ 2,\ \cdots,\ 7)$を$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{P}_k \mathrm{Q}_k$とするとき，四角形$\mathrm{OQ}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3$の面積は$[ツ]$，六角形$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2 \mathrm{Q}_3 \mathrm{Q}_7 \mathrm{Q}_4 \mathrm{Q}_5$の面積は$[テ]$である．また，立方体と$z$軸との交わりは線分となり，その線分の長さは$[ト]$となる．
（図は省略）

座標平面上の$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$と円$C$を，$\ell_1:3x-y-1=0$，$\ell_2:x+3y-3=0$，$C:x^2+y^2-4x-2y+3=0$と定めるとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点の座標を求めよ．
(2)円$C$と直線$\ell_1$との共有点の座標を求めよ．
(3)円$C$と直線$\ell_2$との共有点の座標を求めよ．
(4)連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
(3x-y-1)(x+3y-3) \leqq 0 \\
x^2+y^2-4x-2y+3 \leqq 0 \phantom{\frac{[　]}{2}}
\end{array} \right. \]
の表す領域の面積を求めよ．

$a>0$とする．$xy$平面上に点$\mathrm{A}(-\sqrt{2}a,\ 0)$，$\mathrm{B}(\sqrt{2}a,\ 0)$を固定する．動点$\mathrm{P}(x,\ y)$は条件$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}=4a$をみたすものとする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡として得られる曲線の方程式を求めよ．ただし，答のみでよい．
(2)$(1)$の曲線の$-\sqrt{2}a \leqq x \leqq \sqrt{2}a$の部分と，直線$x=-\sqrt{2}a$，直線$x=\sqrt{2}a$で囲まれる図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体を考える．この立体の体積$V$を求めよ．
(3)$(2)$の立体の表面積$S$を求めよ．ここで，$y=f(x)$のグラフの$p \leqq x \leqq q$の部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる曲面の面積は
\[ 2\pi \int_p^q \sqrt{\{f(x)\}^2+\{f(x)f^\prime(x)\}^2} \, dx \]
として計算してよい．

次の問いに答えよ．

(1)次の問いに答えよ．

(i) $f(x,\ y)=2x^2+11xy+12y^2-5y-2$を因数分解すると，
\[ \left(x+[$1$]y+[$2$] \right) \left([$3$]x+[$4$]y-[$5$] \right) \]
である．
(ii) $f(x,\ y)=56$を満たす自然数$x,\ y$の値は，$x=[$6$]$，$y=[$7$]$である．

(2)$xy$平面上の$2$直線$y=x+4 \sin \theta+1$，$y=-x+4 \cos \theta-3$の交点を$\mathrm{P}$とおく．ただし，$\theta$は実数とする．

(i) $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{12}$のとき，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \sqrt{[$8$]}-[$9$],\ \sqrt{[$10$]}-[$11$] \right)$である．
(ii) $\theta$が実数全体を動くとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は
\[ x^2+y^2+[$12$]x+[$13$]y-[$14$]=0 \]
である．

(3)$2$次関数$f(x)$は，すべての実数$x$について
\[ \int_0^x f(t) \, dt=xf(x)-\frac{4}{3}x^3+ax^2 \]
を満たす．ただし，$a$は実数である．また，$f(0)=a^2-a-6$である．このとき，

(i) $f(x)=[$15$]x^2-[$16$]ax+\left( a+[$17$] \right) \left( a-[$18$] \right)$である．
(ii) 方程式$f(x)=0$が少なくとも$1$つの正の実数解をもつような$a$の値の範囲は
\[ [$19$][$20$]<a \leqq [$21$]+\sqrt{[$22$][$23$]} \]
である．

(4)$\{a_n\}$は，数字の$1$と$2$だけで作ることのできる自然数を小さい順に並べた数列である．
\[ \{a_n\} : \ 1,\ 2,\ 11,\ 12,\ 21,\ 22,\ 111,\ \cdots \]
このとき，

(i) $a_{10}=[$24$][$25$][$26$]$，$a_{15}=\kakkofour{$27$}{$28$}{$29$}{$30$}$である．
(ii) $\displaystyle \sum_{k=7}^{14} a_k=\kakkofour{$31$}{$32$}{$33$}{$34$}$である．
(iii) $\{a_n\}$のうち，$m$桁である項の総和は$\displaystyle \frac{{[$35$]}^{m-1} \left\{ \left([$36$][$37$] \right)^m-[$38$] \right\}}{[$39$]}$である．

$2$つの点$\mathrm{A}(1,\ -2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 2)$と$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}$について考える．線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{PB}$の長さの和の最小値を$m$としたとき，$\displaystyle \frac{m}{\sqrt{5}}$の値を求めよ．

$xy$平面上に放物線$\displaystyle P:y=\frac{1}{4}x^2$と直線$\displaystyle \ell:y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}(a^2-1)$がある．ただし，$a$は$0<a<\sqrt{33}$を満たす実数である．$P$と$\ell$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$x_A$，$x_B$とおくと，$x_A<x_B$である．

次に，線分$\mathrm{AB}$を$1$辺とし，線分$\mathrm{CD}$が$(0,\ 8)$を通る長方形$\mathrm{ABDC}$をおく．長方形$\mathrm{ABDC}$の面積を$S(a)$とする．このとき，

(1)$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$を結ぶ直線の傾きは$\displaystyle \frac{[$40$]}{[$41$]}$であり，線分$\mathrm{AB}$の長さを$a$を用いて表すと$\sqrt{[$42$]}a$である．
(2)$S(a)$を$a$の式で表すと
\[ S(a)=\frac{[$43$][$44$]}{[$45$]}a^3+\frac{[$46$][$47$]}{[$48$]}a \]
である．
また，$S(a)$が最大値をとるとき，$a$の値は$\sqrt{[$49$][$50$]}$である．
(3)放物線$P$と直線$\ell$で囲まれた部分の面積が，$S(a)$の$3$倍であるとき，$a$の値は$[$51$] \sqrt{[$52$]}$である．