$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に放物線$C:y=x^2$と点$\mathrm{P}(a,\ b)$（ただし，$a>0$かつ$b<a^2$）がある．$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線$\ell$が，$C$および$x$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\overrightarrow{\mathrm{QM}}$となるように点$\mathrm{M}$を，また$\overrightarrow{\mathrm{PR}}=\overrightarrow{\mathrm{ON}}$となるように点$\mathrm{N}$をとる．直線$\mathrm{MN}$が$C$と交わる点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．

(1)直線$\mathrm{AP}$および直線$\mathrm{BP}$は，それぞれ$C$の接線であることを示せ．
(2)$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる図形の面積は，$\ell$により二等分されることを示せ．

座標平面上に曲線$C:y=x^4-2x^2+2x$がある．直線$\ell$は$C$に異なる$2$点で接している．このとき以下の問に答えよ．ただし${(x^4)}^\prime=4x^3$および$\displaystyle \int x^4 \, dx=\frac{x^5}{5}+D$（$D$は積分定数）となることを用いてよい．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれる図形の面積を求めよ．
(3)実数$a$に対して，点$(0,\ a)$を通る$C$の接線の本数を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体を$\mathrm{OABC}$とし，$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に下した垂線を$\mathrm{AH}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{AH}}|$を求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{OBC}$の面積を求めよ．
(5)正四面体の体積$V$を求めよ．

次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数で$a \neq 1$とする．

(1)$a^x=e^{f(x)}$をみたす関数$f(x)$を求めよ．
(2)不定積分$\displaystyle \int a^x \, dx$を求めよ．
(3)$3^{|1-x|}(1+|y|) \leqq 3$をみたす実数の組$(x,\ y)$の範囲を$xy$平面上に図示せよ．
(4)$(3)$で図示された範囲の面積を求めよ．

平面上で原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$および点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$，$\mathrm{C}(-1,\ 0)$がある．点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して，実数$a,\ b,\ c$が

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=a \overrightarrow{\mathrm{OA}}+b \overrightarrow{\mathrm{OB}}+c \overrightarrow{\mathrm{OC}},$
$a+b+c=1$

を満たしているとするとき，下の問いに答えなさい．

(1)$a,\ b,\ c$をそれぞれ$x,\ y$で表しなさい．
(2)$a \geqq b \geqq c \geqq 0$を満たす$\mathrm{P}$の範囲を図示しなさい．

$xy$平面において，曲線$C:x^2+y^2=1 (x \geqq 0,\ y \geqq 0)$，および直線$\ell:y=(\tan \theta)x$を考える．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$をみたす定数とする．$S_1,\ S_2,\ S_3$を次によって定める．

$S_1:$ $y$軸，曲線$C$，直線$\ell$で囲まれた部分の面積
$S_2:$ $x$軸，曲線$C$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積
$S_3:$ $x$軸，直線$\ell$，直線$x=\cos \theta$で囲まれた部分の面積

次の問いに答えよ．

(1)$S_1$および$S_2$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$S_1=S_2$となる$\theta$が存在することを示せ．
(3)$S_1=S_2=S_3$となる$\theta$は存在しないことを示せ．

$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

$t$を実数とする．座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(3,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 6,\ -2)$，$\mathrm{D}(t,\ -2,\ 4)$がある．図のような平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$において，点$\mathrm{P}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周および内部を動くとき，$\triangle \mathrm{OCP}$の面積$S$の最小値を$m$とする．また，平行四辺形$\mathrm{DEFG}$を含む平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と平面$\alpha$との交点を$\mathrm{Q}$とする．
（図は省略）

(1)平行四辺形$\mathrm{OABC}$を含む平面に垂直な単位ベクトル$\overrightarrow{u}$で，その$z$成分が正となるものを求めよ．
(2)線分$\mathrm{OQ}$の長さを求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$が平行四辺形$\mathrm{DEFG}$の周または内部にあるとき，$t$のとり得る値の範囲を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた範囲にあるとき，$m$の値および$S=m$となる点$\mathrm{P}$の座標をすべて求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 3)$，$\mathrm{B}(4,\ 0)$，$\mathrm{C}(4,\ 4)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABC}$があり，線分$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$がある．ただし，$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$の端点にないものとする．直線$\mathrm{OP}$によって三角形$\mathrm{ABC}$を$2$つの図形に分けたとき，点$\mathrm{A}$を含む図形の面積を$S$とする．線分$\mathrm{AP}$の長さを$t$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$t$の値の範囲を求め，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{OP}$が線分$\mathrm{AC}$と共有点をもつような$t$の値の範囲を求め，その共有点の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$S$を$t$を用いて表せ．

座標平面上に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と，原点を中心とする半径$2$の円周上の点$\mathrm{P}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$をとるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$を通って，直線$\mathrm{AP}$に直交する直線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して$\mathrm{A}$と対称な点を$\mathrm{C}$とし，$\ell$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とおく．線分$\mathrm{BQ}$の長さを$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$が$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲を動くときの点$\mathrm{Q}$の軌跡は楕円であることを示し，その長軸と短軸の長さの比を求めよ．