四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1$，$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=x$とする．頂点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{ABC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OBC}$に垂線を下ろし，平面$\mathrm{OBC}$との交点を$\mathrm{H}^\prime$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=p \overrightarrow{a}+q \overrightarrow{b}+r \overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OH}^\prime}=s \overrightarrow{b}+t \overrightarrow{c}$と表す．このとき，$p,\ q,\ r$および$s,\ t$を$x$の式で表せ．
(2)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を$x$の式で表せ．また，$x$が変化するときの$V$の最大値を求めよ．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標および$y$座標がともに整数であるとき，$\mathrm{P}$を格子点とよぶ．また，自然数$n$に対して，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq n \\
0 \leqq y \leqq n
\end{array} \right. \]
の表す領域を$R$とする．$R$内の$4$つの格子点を頂点とする正方形の個数を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b) (a>0,\ b>0)$を結ぶ線分を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が第$1$象限に含まれるとき，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$k$は自然数とする．$4$点$(0,\ 0)$，$(k,\ 0)$，$(k,\ k)$，$(0,\ k)$を頂点とする正方形を$E$とする．$E$の辺上の格子点（$E$の頂点を含む）を$4$つの頂点とする正方形の個数を求めよ．
(3)$q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(4)$q_n$を求めよ．

$xy$平面上の点$\mathrm{P}$の$x$座標および$y$座標がともに整数であるとき，$\mathrm{P}$を格子点とよぶ．また，自然数$n$に対して，連立不等式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
0 \leqq x \leqq n \\
0 \leqq y \leqq n
\end{array} \right. \]
の表す領域を$R$とする．$R$内の$4$つの格子点を頂点とする正方形の個数を$q_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)$xy$平面上の$2$点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b) (a>0,\ b>0)$を結ぶ線分を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が第$1$象限に含まれるとき，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$の座標を求めよ．
(2)$k$は自然数とする．$4$点$(0,\ 0)$，$(k,\ 0)$，$(k,\ k)$，$(0,\ k)$を頂点とする正方形を$E$とする．$E$の辺上の格子点（$E$の頂点を含む）を$4$つの頂点とする正方形の個数を求めよ．
(3)$q_1,\ q_2,\ q_3$を求めよ．
(4)$q_n$を求めよ．

座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$，$\mathrm{B}(3,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 0)$を含む平面を$H$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(-3,\ 2,\ 2)$は$H$上の点であることを示せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ -3,\ -4)$を通る直線が$H$と直交するとき，その交点の座標を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$3$次方程式$x^3-ax-6=0$が$x=-1$を解にもつとき，定数$a$の値と他の解を求めよ．
(2)$\displaystyle \log_2 \frac{1}{6}+\log_2 \frac{3}{4}$の値を求めよ．
(3)平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$をとる．$0 \leqq \theta <2\pi$のとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}}$の最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

点$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 2)$を頂点とする四面体がある．点$\mathrm{O}$から平面$\mathrm{ABC}$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろし，直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)実数$s,\ t,\ u$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}+u \overrightarrow{c}$とおくとき，$s,\ t,\ u$を求めよ．
(2)線分$\mathrm{BP}$と線分$\mathrm{PC}$の長さの比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

$xy$平面上の第$1$象限内の$2$つの曲線$C_1:y=\sqrt{x} (x>0)$と$\displaystyle C_2:y=\frac{1}{x} (x>0)$を考える．次の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$x=a$における$C_1$の接線$L_1$の方程式を求めよ．
(2)$C_2$の接線$L_2$が$(1)$で求めた$L_1$と直交するとき，接線$L_2$の方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$L_2$が$x$軸，$y$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．折れ線$\mathrm{AOB}$の長さ$l$を$a$の関数として求め，$l$の最小値を求めよ．ここで，$\mathrm{O}$は原点である．

点$\mathrm{O}$を原点とし，$x$軸，$y$軸，$z$軸を座標軸とする座標空間において，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$を中心とする$xy$平面上の半径$1$の円周上に点$\mathrm{P}$をとり，図のように$\theta=\angle \mathrm{BAP}$とおく．ただし，$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$とする．また，直線$\mathrm{CP}$と$yz$平面の交点を$\mathrm{Q}$とおく．このとき，次の問に答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\theta$の値が$\displaystyle \frac{\pi}{2}<\theta<\frac{3}{2}\pi$の範囲で変化するとき，$yz$平面における点$\mathrm{Q}$の軌跡の方程式を求め，その概形を図示せよ．