「平面」について
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国立 神戸大学 2015年 第3問$a$を正の実数とする．座標平面上の曲線$C$を
\[ y=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2 \]
で定める．曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする．以下の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような，$C$上の点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし，点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする．線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ．
\[ y=x^4-2(a+1)x^3+3ax^2 \]
で定める．曲線$C$が$2$つの変曲点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をもち，それらの$x$座標の差が$\sqrt{2}$であるとする．以下の問に答えよ．
(1)$a$の値を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PQ}$の中点と$x$座標が一致するような，$C$上の点を$\mathrm{R}$とする．三角形$\mathrm{PQR}$の面積を求めよ．
(3)曲線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線が$\mathrm{P}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{P}^\prime$とし，点$\mathrm{Q}$における接線が$\mathrm{Q}$以外で$C$と交わる点を$\mathrm{Q}^\prime$とする．線分$\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime$の中点の$x$座標を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第4問$a,\ b,\ p$は$a>0$，$b>0$，$p<0$を満たす実数とする．座標平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=e^x,\quad C_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$と$C_2$が点$(p,\ e^p)$を共有し，その点における$C_1$の接線と$C_2$の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1)$p$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}(p+a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{b^2e^{2a}}{a}$を求めよ．
\[ C_1:y=e^x,\quad C_2:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \]
を考える．ただし，$e$は自然対数の底である．$C_1$と$C_2$が点$(p,\ e^p)$を共有し，その点における$C_1$の接線と$C_2$の接線が一致するとき，次の問いに答えよ．
(1)$p$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}(p+a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{a \to \infty}\frac{b^2e^{2a}}{a}$を求めよ．
国立 旭川医科大学 2015年 第4問四面体$\mathrm{OAPQ}$において，$\angle \mathrm{AOP}=\angle \mathrm{AOQ}=\angle \mathrm{POQ}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OP}=p$，$\mathrm{OQ}=q$とし，頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{OPQ}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．ただし，$p \leqq q$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．
(3)$p+q=3$，および$\triangle \mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき，以下の値を求めよ．
\[ (1) \ pq \qquad (2) \ p \qquad (3) \ \text{四面体} \mathrm{OAPQ} \text{の体積} \]
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$p,\ q$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{AH}$の長さを求めよ．
(3)$p+q=3$，および$\triangle \mathrm{APQ}$の面積が$1$のとき，以下の値を求めよ．
\[ (1) \ pq \qquad (2) \ p \qquad (3) \ \text{四面体} \mathrm{OAPQ} \text{の体積} \]
国立 岡山大学 2015年 第4問座標空間内の$8$点
\[ (0,\ 0,\ 0),\ (1,\ 0,\ 0),\ (1,\ 1,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 0,\ 1),\ (1,\ 0,\ 1),\ (1,\ 1,\ 1),\ (0,\ 1,\ 1) \]
を頂点とする立方体を考える．$0<t<3$のとき，$3$点$(t,\ 0,\ 0)$，$(0,\ t,\ 0)$，$(0,\ 0,\ t)$を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を$f(t)$とし，$f(0)=f(3)=0$とする．関数$f(t)$について，次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq t \leqq 3$のとき，$f(t)$を$t$の式で表せ．
(2)関数$f(t)$の$0 \leqq t \leqq 3$における最大値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^3 f(t) \, dt$の値を求めよ．
\[ (0,\ 0,\ 0),\ (1,\ 0,\ 0),\ (1,\ 1,\ 0),\ (0,\ 1,\ 0),\ (0,\ 0,\ 1),\ (1,\ 0,\ 1),\ (1,\ 1,\ 1),\ (0,\ 1,\ 1) \]
を頂点とする立方体を考える．$0<t<3$のとき，$3$点$(t,\ 0,\ 0)$，$(0,\ t,\ 0)$，$(0,\ 0,\ t)$を通る平面でこの立方体を切った切り口の面積を$f(t)$とし，$f(0)=f(3)=0$とする．関数$f(t)$について，次の問いに答えよ．
(1)$0 \leqq t \leqq 3$のとき，$f(t)$を$t$の式で表せ．
(2)関数$f(t)$の$0 \leqq t \leqq 3$における最大値を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_0^3 f(t) \, dt$の値を求めよ．
国立 名古屋工業大学 2015年 第4問四面体$\mathrm{ABCD}$は
$(ⅰ)$ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$(ⅱ)$ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$
を満たす．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき，面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ．
$(ⅰ)$ $\mathrm{BA}=\sqrt{66}$，$\mathrm{BC}=7$，$\mathrm{BD}=\sqrt{65}$
$(ⅱ)$ $\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=28$，$\overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BD}}=35$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}=40$
を満たす．頂点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線を$\mathrm{AH}$とする．
(1)辺$\mathrm{AC}$の長さを求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{BD}}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{CH}$の長さを求めよ．
(4)面$\mathrm{ABC}$を直線$\mathrm{AH}$の周りに$1$回転させるとき，面$\mathrm{ABC}$が通過する部分の体積$V$を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第1問$xy$平面において，次の式が表す曲線を$C$とする．
\[ x^2+4y^2=1,\quad x>0,\quad y>0 \]
$\mathrm{P}$を$C$上の点とする．$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$として，$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ x^2+4y^2=1,\quad x>0,\quad y>0 \]
$\mathrm{P}$を$C$上の点とする．$\mathrm{P}$で$C$に接する直線を$\ell$とし，$\mathrm{P}$を通り$\ell$と垂直な直線を$m$として，$x$軸と$y$軸と$m$で囲まれてできる三角形の面積を$S$とする．$\mathrm{P}$が$C$上の点全体を動くとき，$S$の最大値とそのときの$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第2問$xy$平面において，$3$次関数$y=x^3-x$のグラフを$C$とし，不等式
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．
(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
\[ x^3-x>y>-x \]
の表す領域を$D$とする．また，$\mathrm{P}$を$D$の点とする．
(1)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する直線が$3$本存在することを示せ．
(2)$\mathrm{P}$を通り$C$に接する$3$本の直線の傾きの和と積がともに$0$となるような$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第1問座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} (x>0)$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．
(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第5問$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
国立 東北大学 2015年 第2問$t>0$を実数とする．座標平面において，$3$点$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0)$，$\mathrm{P}(t,\ \sqrt{3}t)$を頂点とする三角形$\mathrm{ABP}$を考える．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．
(1)三角形$\mathrm{ABP}$が鋭角三角形となるような$t$の範囲を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の垂心の座標を求めよ．
(3)辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BP}$，$\mathrm{PA}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおく．$t$が$(1)$で求めた範囲を動くとき，三角形$\mathrm{ABP}$を線分$\mathrm{MQ}$，$\mathrm{QR}$，$\mathrm{RM}$で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，そのときの$t$の値を求めよ．