座標平面において，次の式で与えられる$2$つの円$C$，$C^\prime$を考える．

$C:x^2+y^2=13$
$C^\prime:x^2+y^2-8x+14y+13=0$

$2$つの円の$2$つの共通接線は，点$([アイ],\ [ウ])$で交わり，共通接線$\ell_1,\ \ell_2$の方程式は，それぞれ

$\ell_1:[エ]x+[オ]y=13$
$\ell_2:[カキ]x+y=[クケコ]$

である．

(1)円$C^\prime$と直線$\ell_1$の共有点の座標は$([サ],\ [シス])$である．
(2)$2$つの円の異なる$2$つの交点と$\ell_1$上の点$\mathrm{P}$が同一直線上にあるとき，点$\mathrm{P}$の座標は$([セ],\ [ソ])$である．
(3)円$C$，$C^\prime$の中心をそれぞれ$\mathrm{O}$，$\mathrm{O}^\prime$とする．$\ell_1$上の点$\mathrm{Q}$に対し，$\mathrm{OQ}+\mathrm{O}^\prime \mathrm{Q}$が最小となるとき，$\mathrm{Q}$の座標は
\[ \left( [タ],\ \displaystyle\frac{[チ]}{[ツ]} \right) \]
である．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{P}$がある．それぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{p}$とし，$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$および$2s+t=2$を満たすとする．ただし，$s>0$，$t>0$とする．また$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$がなす角度を$\displaystyle \theta \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{C}$の位置ベクトル$\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{c}=2 \overrightarrow{b}$を満たすとき，点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AC}$上にあることを示せ．
(2)点$\mathrm{P}$を中心とする円が直線$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に接しているとする．$|\overrightarrow{a|}=3$，$|\overrightarrow{b|}=1$とするとき，$s$と$t$を求めよ．
(3)$(2)$のとき，直線$\mathrm{OA}$に関して，点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\theta$で表せ．

座標平面上に楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$と放物線$y^2=x-t$があり，$t>0$とする．この楕円と放物線の共有点が$2$個であるとき，以下の問いに答えよ．

(1)$t$の条件を求めよ．
(2)$2$個の共有点の$x$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$2$個の共有点における放物線の接線が垂直に交わるように$t$の値を定めよ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．

\begin{mawarikomi}{50mm}{（図は省略）}
右図のような$1$辺の長さが$1$の立方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$に対し，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおく．$\displaystyle 0<t<\frac{1}{2}$となる$t$に対して，辺$\mathrm{AE}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{CG}$を$2t:1-2t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の定める平面を$\alpha$とし，平面$\alpha$と直線$\mathrm{BF}$との交点を$\mathrm{R}$とすると，四角形$\mathrm{OPRQ}$は平行四辺形である．平行四辺形$\mathrm{OPRQ}$の面積を$S$，四角錐$\mathrm{DOPRQ}$の体積を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
\end{mawarikomi}

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を$t$を用いて表せ．
(2)$S$を$t$を用いて表せ．
(3)平面$\alpha$に点$\mathrm{D}$から垂線$\mathrm{DH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{d}$と$t$を用いて表せ．
(4)$V$は$t$によらず一定であることを示せ．

$a$と$b$は$a^2>b$をみたす実数であるとする．座標平面において，点$\mathrm{P}(a,\ b)$から曲線$y=x^2$に引いた$2$つの接線の接点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PR}}$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(2)三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$を$a$と$b$の式で表しなさい．
(3)直線$y=2x-3$を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$が$\ell$上を動くとき，$(2)$の$S$の最小値を求めなさい．

関数$f(x)=1-|ax(1-x)-1|$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は正の実数とする．

(1)$ax(1-x)-1$が常に負になるための$a$の条件を求めよ．
(2)$a=6$のとき，$y=f(x)$のグラフを描け．
(3)関数$f(x)$の最大値を$M(a)$とする．$a$がすべての正の実数値をとって変化するとき，点$(a,\ M(a))$を座標平面上に図示せよ．
(4)直線$y=x$と$y=f(x)$のグラフが$3$つの共有点をもつときの$a$の値を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．関数$f(x)=x^3-3a^2x+2b$について，以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$が単調に増加するとき，$a$についての条件を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフが$x$軸と異なる$3$点で交わるための条件を$a$と$b$を用いて表せ．
(3)$a,\ b$が$(2)$で求めた条件をみたすとき，点$(a,\ b)$が存在する領域を座標平面上に図示せよ．

$4$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が同一平面上にある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は，$\mathrm{OA}:\mathrm{OB}=3:2$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$を満たすとする．点$\mathrm{C}$が線分$\mathrm{OA}$の垂直二等分線と線分$\mathrm{OB}$の垂直二等分線の交点であるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．

平面上に平行四辺形$\mathrm{ABCD}$がある．辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{E}$とし，辺$\mathrm{BC}$，辺$\mathrm{CD}$，辺$\mathrm{DA}$それぞれを$1:2$に内分する点を順に$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$とする．線分$\mathrm{EG}$と線分$\mathrm{FH}$の交点を$\mathrm{I}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{EI}:\mathrm{IG}=t:(1-t)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$t$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{HI}:\mathrm{IF}=u:(1-u)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$，$u$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AI}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$を用いて表せ．