\begin{mawarikomi}{68mm}{
（図は省略）
}
座標平面の$x$軸上に直線$\ell$がある．点$\mathrm{O}^\prime$を中心とする半径$1$の円$C$が直線$\ell$に接しながら$x$軸の負の方向から正の方向へ，すべらずに転がっている．円$C$は$\mathrm{O}^\prime$のまわりに毎秒$1$ラジアンの割合で回転しているとする．

ある時刻に点$\mathrm{O}^\prime$が点$(0,\ 1)$に達し，同時に直線$\ell$が座標平面の原点$\mathrm{O}$を中心として毎秒$1$ラジアンの割合で正の向きに回転を始めた．その時刻に原点にある円$C$上の点を$\mathrm{P}$とする．円$C$はその後も$\ell$に接しながら同じように転がり続けるとする．

\end{mawarikomi}

(1)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における円$C$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)$\ell$が動き始めてから$t$秒後$\displaystyle \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$における点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\ell$が動き始めてから$\displaystyle \frac{\pi}{2}$秒後までに点$\mathrm{P}$が描く曲線の長さを求めよ．

平面上に等間隔に並ぶ$6$本の平行線があり，さらにそれらに直交し，それらと同じ間隔で並ぶ$6$本の平行線があるとき，次の設問に答えよ．

(1)これら$2$組の平行線で作られる長方形は何個あるか．
(2)そのうち正方形ではないものは何個あるか．

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい．また設問$(3)$に答えなさい．

時間$t$とともに座標平面上を動く点$\mathrm{P}(t)$は次の条件$(ⅰ)$をみたすとする．

(i) $\mathrm{P}(t)$は原点をとおらず，その偏角$\theta(t)$および原点からの距離$r(t)$は$t$について微分可能，かつ$r(0)=1$であり，さらに$\theta^\prime(t)=1$が成り立つ．



(1)動点$\mathrm{P}(t)$の座標を$(x(t),\ y(t))$とし，時刻$t$における$\mathrm{P}(t)$の速度ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{v}(t)=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$とベクトル$\overrightarrow{b}(t)=(\cos \theta (t),\ \sin \theta (t))$のなす角を$\alpha (t)$とする．このとき$\cos \alpha (t)$を$r(t)$を用いて表すと$\cos \alpha (t)=[あ]$である．
(2)動点$\mathrm{P}(t)$がさらに次の条件$(ⅱ)$をみたすとする．

(ii) すべての$t$に対して$\displaystyle \alpha (t)=\frac{\pi}{4}$である．

このとき$r(t)=[い]$である．
(3)条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$をみたす$2$つの動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$の間に次の条件$(ⅲ)$が成り立つとする．ただし動点$\mathrm{P}_1(t)$，$\mathrm{P}_2(t)$それぞれの偏角を$\theta_1(t)$，$\theta_2(t)$，原点からの距離を$r_1(t)$，$r_2(t)$とし，速度ベクトルを$\overrightarrow{v_1}(t)$，$\overrightarrow{v_2}(t)$とする．

(iii) すべての$t$に対してベクトル$\overrightarrow{v_1}(t)$とベクトル$\overrightarrow{v_2}(t)$は垂直である．

このとき時刻$s$から$u$の間に動点$\mathrm{P}_2(t)$がその軌道に沿って動く道のりを$l(s,\ u)$とすると
\[ l(s,\ u)=|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(u) \mathrm{P}_2(u)}}-|\overrightarrow{\mathrm{P|_1(s) \mathrm{P}_2(s)}} \]
が成り立つことを示しなさい．ただし$s<u$とする．

次の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$6$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$6$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$6$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$k$となる場合の数を$f(k)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(k,\ f(k))$は，直線$x=[ア]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[イ]$である．
(2)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$l$となる場合の数を$g(l)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(l,\ g(l))$は，直線$x=[ウ]$に関して対称な$2$直線上に並び，これらの対称な$2$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[エ]$である．
(3)$N$を$2$以上の整数とする．$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた赤球が$N$個と，$1$から$N$までの数字が$1$つずつ書かれた白球が$N$個入った袋$\mathrm{A}$と，$1$から$2N$までの数字が$1$つずつ書かれた青球が$2N$個入った袋$\mathrm{B}$がある．それぞれの袋から無作為に$1$個ずつ球を取り出し，それらの球に書かれた数の合計が$m$となる場合の数を$h(m)$で表す．このとき，$xy$平面上の点$(m,\ h(m))$が並ぶ直線の方程式は以下のようになる．


\qquad \; \!\!$2 \leqq m \leqq [オ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[カ]$
$[オ] \leqq m \leqq [キ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[ク]$
$[キ] \leqq m \leqq [ケ]$の$(m,\ h(m))$について，$y=[コ]$


これらの$3$直線と$x$軸で囲まれた部分の面積は$[サ]$である．

$xyz$空間に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$がある．点$\mathrm{P}$は以下の条件を満たすとする．

(i) $\mathrm{AP}=2$．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標は$1$．
(iii) 線分$\mathrm{AP}$は$xy$平面と交わる．ただし，点$\mathrm{P}$が$xy$平面上にあるときは，線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面は点$\mathrm{P}$で交わるものとする．

このとき線分$\mathrm{AP}$と$xy$平面の交点を$\mathrm{Q}$とする．さらに点$\mathrm{P}$の$x$座標を$t$とするとき，以下の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の$z$座標を$t$を用いて表せ．
(2)$t$がとりうる値の範囲を求めよ．
(3)点$\mathrm{Q}$の座標を$(u,\ v,\ 0)$とするとき，$u,\ v$を$t$を用いて表せ．
(4)$t$が$(2)$で求めた範囲を動くとき，点$(u,\ v)$の軌跡を座標平面上に図示せよ．

$xy$平面上を動く中心$(0,\ p)$，半径$r (0<r<p)$の円$C_1$が，放物線$C_2:y=x^2$と異なる$2$点で，直線$\ell:y=q (q>p)$と$1$点で接している（直線$\ell$は円$C_1$と連動して動くものとする）．ここで$2$つの曲線が接するとは，交点における接線が一致することを意味する．このとき
\[ p=[$36$]r^2+\frac{[$37$]}{[$38$]} \]
であり，$\displaystyle r>\frac{[$39$]}{[$40$]}$を満たす．また，放物線$C_2$と直線$\ell$の交点の$x$座標は
\[ \pm \left( [$41$]r+\frac{[$42$]}{[$43$]} \right) \]
である．このとき，放物線$C_2$と直線$\ell$で囲まれた領域の面積は
\[ \frac{[$44$]}{[$45$]}r^3+[$46$]r^2+[$47$]r+\frac{[$48$]}{[$49$]} \]
である．

座標平面上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$，$\mathrm{B}(4,\ 2)$および$2$つの直線$\ell:x+y=1$，$m:x-y=3$が与えられている．

(1)点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となる$\mathrm{P}$の座標は
\[ \left( \frac{[$50$][$51$][$52$]}{[$53$]},\ \frac{[$54$][$55$][$56$]}{[$57$]} \right) \]
である．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$がそれぞれ直線$\ell,\ m$上を動くとき，$\mathrm{AP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QB}$が最小となる$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標はそれぞれ
\[ \left( \frac{[$58$][$59$]}{[$60$]},\ \frac{[$61$][$62$]}{[$63$]} \right),\quad \left( \frac{[$64$][$65$]}{[$66$]},\ \frac{[$67$][$68$]}{[$69$]} \right) \]
である．

次の空欄$[ア]$～$[サ]$に当てはまる数または式を記入せよ．

(1)$U=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\}$を全体集合とする．$A$を$6$の正の約数がつくる部分集合とし，$A$の補集合を$\overline{A}$とする．$B$を$9$の正の約数がつくる部分集合とし，$B$の補集合を$\overline{B}$とする．$\overline{A} \cup B$の要素を書き並べて表すと$[ア]$であり，$A \cap \overline{B}$の要素を書き並べて表すと$[イ]$である．
(2)等式$\displaystyle f(x)=-6x+2 \int_{-1}^2 f(t) \, dt$を満たす関数$f(x)$は，$f(x)=[ウ]$である．
(3)$2$次方程式$x^2+2ax+a=0$が$x=-a$を解として持つときの$a$の値をすべて求めると，$a=[エ]$である．
(4)$2$進法で表された数$1101011_{(2)}$を$10$進法で表すと$[オ]$である．
(5)複素数$x=a+bi (a>0,\ b>0)$が$x^4=-9$を満たすとき，定数$a=[カ]$，$b=[キ]$である．ただし，$i$は虚数単位とする．
(6)$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で$\cos 2\theta-\cos \theta=0$を満たす$\theta$をすべて求めると，$\theta=[ク]$である．
(7)不等式$\displaystyle -2<\log_{8}x<\frac{5}{3}$を解くと，$\displaystyle \frac{1}{[ケ]}<x<[コ]$である．ただし，空欄に入る数は整数である．
(8)$p,\ q$を実数とし，$q>4$とする．座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(p,\ q)$，$\mathrm{B}(0,\ 4)$，$\mathrm{C}(1,\ -1)$，$\mathrm{D}(5,\ 3)$を頂点とする平行四辺形$\mathrm{ABCD}$において$\overrightarrow{\mathrm{DC}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DA}}$のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta=[サ]$である．

座標平面上における放物線$C:y=x^2-2x+1$と直線$\ell:y=x$の$2$つの交点のうち，$x$座標の値が小さい方の点を$\mathrm{A}(p,\ p)$とする．直線$\ell$上の点$\mathrm{B}(1,\ 1)$と点$\mathrm{A}$の間にある点$\mathrm{D}(q,\ q)$を通り$y$軸と平行な直線と放物線$C$との交点を$\mathrm{E}$とし，点$\mathrm{E}$を通り$x$軸と平行な直線と放物線$C$とのもう$1$つの交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$p$の値を求めよ．
(2)$\mathrm{EF}$の長さを$q$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$q$を用いて表せ．
(4)点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{AB}$上を動くとき，三角形$\mathrm{DEF}$の面積が最大となる$q$の値を求めよ．
(5)$q$が$(4)$で求めた値であるときの三角形$\mathrm{DEF}$の面積を求めよ．

$a,\ b$を実数，$t$を正の実数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=-x^2,\quad C_2:y=x^2+ax+b \]
が，点$\mathrm{P}(t,\ -t^2)$において同じ接線$\ell$を持つとする．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の法線を$m$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell$と$m$の方程式をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$m$と$C_2$の軸および$C_2$で囲まれる図形の面積$S_1$を$t$を用いて表せ．
(4)$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{Q}$とし，三角形$\mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，極限$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．