「平面」について
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国立 神戸大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点，$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．
国立 神戸大学 2016年 第2問$a$を正の定数とし，$f(x)=|x^2+2ax+a|$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ．また，その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．
(1)$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(2)$a=2$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<a \leqq \frac{3}{2}$とする．すべての実数$x$に対して$f(x) \geqq 2x+b$が成り立つような実数$b$の取りうる値の範囲を$a$を用いて表せ．また，その条件をみたす点$(a,\ b)$の領域を$ab$平面上に図示せよ．
国立 京都大学 2016年 第5問$xy$平面上の$6$個の点$(0,\ 0)$，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(2,\ 0)$，$(2,\ 1)$が図のように長さ$1$の線分で結ばれている．動点$\mathrm{X}$は，これらの点の上を次の規則に従って$1$秒ごとに移動する．
\mon[規則：] 動点$\mathrm{X}$は，そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．
例えば，$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する．また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき，$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ．ただし$n$は$0$以上の整数とする．
（図は省略）
\mon[規則：] 動点$\mathrm{X}$は，そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．
例えば，$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する．また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．
時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき，$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ．ただし$n$は$0$以上の整数とする．
（図は省略）
国立 神戸大学 2016年 第5問極方程式で表された$xy$平面上の曲線$r=1+\cos \theta (0 \leqq \theta \leqq 2\pi)$を$C$とする．以下の問に答えよ．
(1)曲線$C$上の点を直交座標$(x,\ y)$で表したとき，$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=0$となる点，および$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to \pi} \frac{dy}{dx}$を求めよ．
(3)曲線$C$の概形を$xy$平面上にかけ．
(4)曲線$C$の長さを求めよ．
(1)曲線$C$上の点を直交座標$(x,\ y)$で表したとき，$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=0$となる点，および$\displaystyle \frac{dy}{d\theta}=0$となる点の直交座標を求めよ．
(2)$\displaystyle \lim_{\theta \to \pi} \frac{dy}{dx}$を求めよ．
(3)曲線$C$の概形を$xy$平面上にかけ．
(4)曲線$C$の長さを求めよ．
国立 神戸大学 2016年 第1問四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{OA}$の中点，$\mathrm{Q}$を辺$\mathrm{OB}$を$2:1$に内分する点，$\mathrm{R}$を辺$\mathrm{BC}$の中点とする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る平面と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{S}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．以下の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$，$\overrightarrow{\mathrm{PR}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)比$|\overrightarrow{\mathrm{AS|}}:|\overrightarrow{\mathrm{SC|}}$を求めよ．
(3)四面体$\mathrm{OABC}$を$1$辺の長さが$1$の正四面体とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{QS|}}$を求めよ．
国立 一橋大学 2016年 第5問次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．
\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である．このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である．次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである．
\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}
(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について，$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$，$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ．
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ．
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった．このとき，$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である．このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である．次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである．
\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}
(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について，$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$，$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ．
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ．
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった．このとき，$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
国立 北海道大学 2016年 第5問空間の$2$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 3)$を通る直線を$\ell$とし，$2$点$\mathrm{C}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{D}(1,\ 0,\ 1)$を通る直線を$m$とする．$a$を定数として，$\ell$上にも$m$上にもない点$\mathrm{P}(s,\ t,\ a)$を考える．
(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．
(1)$\mathrm{P}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$の交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$から$m$に下ろした垂線と$m$の交点を$\mathrm{R}$とする．$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$s,\ t,\ a$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{P}$を中心とし，$\ell$と$m$がともに接するような球面が存在するための条件を$s,\ t,\ a$の関係式で表せ．
(3)$s,\ t$と定数$a$が$(2)$の条件をみたすとき，平面上の点$(s,\ t)$の軌跡が放物線であることを示し，その焦点と準線を$a$を用いて表せ．
国立 九州大学 2016年 第1問座標平面上の曲線$C_1,\ C_2$をそれぞれ
$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$
とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1$，$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$，曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．
(2)$S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ．
$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$
とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1$，$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$，曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．
(2)$S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(3)極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ．
国立 九州大学 2016年 第3問座標平面上で円$x^2+y^2=1$に内接する正六角形で，点$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を$1$つの頂点とするものを考える．この正六角形の頂点を$\mathrm{P}_0$から反時計まわりに順に$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$，$\mathrm{P}_4$，$\mathrm{P}_5$とする．ある頂点に置かれている$1$枚のコインに対し，$1$つのサイコロを$1$回投げ，出た目に応じてコインを次の規則にしたがって頂点上を動かす．
\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．
(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
\mon[（規則）$(ⅰ)$] $1$から$5$までの目が出た場合は，出た目の数だけコインを反時計まわりに動かす．例えば，コインが$\mathrm{P}_4$にあるときに$4$の目が出た場合は$\mathrm{P}_2$まで動かす．
(ii) $6$の目が出た場合は，$x$軸に関して対称な位置にコインを動かす．ただし，コインが$x$軸上にあるときは動かさない．例えば，コインが$\mathrm{P}_5$にあるときに$6$の目が出た場合は$\mathrm{P}_1$に動かす．
はじめにコインを$1$枚だけ$\mathrm{P}_0$に置き，$1$つのサイコロを続けて何回か投げて，$1$回投げるごとに上の規則にしたがってコインを動かしていくゲームを考える．以下の問いに答えよ．
(1)$2$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(2)$3$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
(3)$n$を自然数とする．$n$回サイコロを投げた後に，コインが$\mathrm{P}_0$の位置にある確率を求めよ．
国立 広島大学 2016年 第1問$a$を正の定数とし，座標平面上において，
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える．$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している．次の問いに答えよ．
(1)$s,\ t$および$a$を求めよ．
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする．$C_2$，$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．
\[ \text{円}C_1:x^2+y^2=1,\quad \text{放物線}C_2:y=ax^2+1 \]
を考える．$C_1$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{\sqrt{3}}{2},\ -\frac{1}{2} \right)$における$C_1$の接線$\ell$は点$\mathrm{Q}(s,\ t)$で$C_2$に接している．次の問いに答えよ．
(1)$s,\ t$および$a$を求めよ．
(2)$C_2,\ \ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)円$C_1$上の点が点$\mathrm{P}$から点$\mathrm{R}(0,\ 1)$まで反時計回りに動いてできる円弧を$C_3$とする．$C_2$，$\ell$および$C_3$で囲まれた部分の面積を求めよ．