$a,\ m$を正の定数とする．座標平面において，曲線$C:y=x^3-2ax^2+a^2x$と直線$\ell:y=m^2x$は，異なる$3$点を共有し，その$x$座標はいずれも負ではないとする．次の各問に答えよ．

(1)$m$の取り得る値の範囲を$a$で表せ．また，$C$と$\ell$の共有点の$x$座標を求めよ．
(2)$C$と$\ell$で囲まれた$2$つの図形の面積が等しいとき，$m$を$a$で表せ．
(3)(2)のとき，$2$つの図形の面積の和が$\displaystyle \frac{1}{2}$になるように$a$の値を定めよ．

座標平面において，曲線$y=e^x$を$C$とし，点$(1,\ 0)$を$\mathrm{P}_1$，点$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_1$とする．

点$\mathrm{Q}_1$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_2$，点$\mathrm{P}_2$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_2$とする．さらに，点$\mathrm{Q}_2$における$C$の接線と$x$軸との交点を$\mathrm{P}_3$，点$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に垂直な直線と$C$との交点を$\mathrm{Q}_3$とする．
以下同様の操作を繰り返し，$x$軸上の点列$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \mathrm{P}_3,\ \cdots$と曲線$C$上の点列$\mathrm{Q}_1,\ \mathrm{Q}_2,\ \mathrm{Q}_3,\ \cdots$を定める．
また，各自然数$n$について，曲線$C$と$2$つの線分$\mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n+1}$，$\mathrm{P}_{n+1} \mathrm{Q}_{n+1}$で囲まれた図形の面積を$S_n$として，数列
\[ S_1,\ S_2,\ \cdots,\ S_n,\ \cdots \]
を定める．次の各問に答えよ．


(1)$S_1$を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ．
(3)無限級数
\[ S_1+S_2+\cdots +S_n+\cdots \]
の和を求めよ．

座標平面上に正十二角形があり，その外接円の中心を$\mathrm{C}(c,\ 0)$とする．正十二角形の頂点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\cdots$，$\mathrm{A}_{12}$はこの順に反時計まわりにならんでいる．点$\mathrm{A}_1$の座標を$(a,\ b)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}_7$の座標を$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{A}_2$と$\mathrm{A}_8$の座標をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{A}_2 \mathrm{A}_7 \mathrm{A}_8$は面積が$9$であり，重心の座標が$(-3,\ -1)$であるとき，$a,\ b,\ c$の値をすべて求めよ．

座標平面上の原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$C$とする．$\mathrm{O}$を始点とする半直線上の二点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$について$\mathrm{OP} \cdot \mathrm{OQ}=4$が成立するとき，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$は$C$に関して対称であるという（下の図では，$\mathrm{P}$は$C$の内側に取ってある）．以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}(x,\ y)$の$C$に関して対称な点$\mathrm{Q}$の座標を$x,\ y$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}(x,\ y)$が原点を除いた曲線
\[ (x-2)^2+(y-3)^2=13,\quad (x,\ y) \neq (0,\ 0) \]
上を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．