$xy$平面上に，原点Oを中心とする半径1の円$C$があり，点Pは円$C$の周上を動く．また点Pを中心とする半径$r$の円$D$の周上には点Qがある．いま，点Pが点$(1,\ 0)$から円$C$上を反時計回りに動き，同時に点Qは点$(1+r,\ 0)$から円$D$上を時計回りに動く．ただし，点Pは円$C$上で，点Qは円$D$上でともに等速円運動を行い，点Pが円$C$を一周したとき点Qも円$D$を一周する．次の問いに答えよ．

(1)点Pが円$C$を一周したとき，点Qの軌跡はどのような図形になるか，図示せよ．
(2)$(1)$の図形を$y$軸のまわりに回転させた時にできる立体の体積$V$を$r$の関数として表し，そのグラフの概形を描け．

原点をOとする座標平面上に2点P$(a,\ c)$およびQ$(b,\ d)$をとり，$\triangle$OPQを考える．線分OPが$x$軸の正の部分となす角を$\theta$とする．ただし，$\theta$は時計の針の回転と逆の向きを正とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\sin \theta$と$\cos \theta$を$a,\ c$の式で表せ．
(2)点Qを原点の周りに$-\theta$だけ回転させた点を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(3)$\triangle$OPQの面積を$a,\ b,\ c,\ d$で表せ．
(4)一次変換
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
\sqrt{2}+\sqrt{5} & 3 \\
1 & \sqrt{2}-\sqrt{5}
\end{array} \biggr) \]
によって，点P，Qがそれぞれ点P$^\prime$，Q$^\prime$に移されるものとする．$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積は$\triangle$OPQの何倍か．

Oを原点とする座標平面において，曲線$y=x^3$上の点P$(t,\ t^3)$から$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をHとする．ただし，$t>0$である．Hを通り線分OPに垂直な直線と$y$軸との交点をQとし，線分HQと線分OPの交点をRとする．$\triangle$ORQの面積を$S_1$，$\triangle$HPRの面積を$S_2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Qの$y$座標を求めよ．
(2)点Rの$x$座標を求めよ．
(3)$S_1$と$S_2$を$t$の式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{t \to \infty} S_1S_2$の値を求めよ．
(5)$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\cos \alpha & \displaystyle \frac{4}{3}\cos \beta \\
\displaystyle \frac{3}{4}\sin \alpha & \sin \beta
\end{array} \right)$が表す$1$次変換が座標平面における楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$をそれ自身に移すとする．このとき次の問いに答えよ．

(1)$\alpha$を$\beta$の式で表せ．
(2)$A^3=E$(単位行列)となる行列$A$をすべて求めよ．

座標空間内に原点Oを通らない平面$\alpha$がある．原点から平面$\alpha$に垂線OHを下ろす．このとき，次の問いに答えよ．

(1)Pを平面$\alpha$上の点とする．$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OH}}$を示せ．
(2)平面$\alpha$が3点A$(1,\ 1,\ 1)$，B$(3,\ 0,\ 1)$，C$(-1,\ 1,\ 0)$を通るとき，点Hの座標を求めよ．

2次の正方行列$A$の表す1次変換を$f$とする．(すなわち，行列$A$で表される座標平面上の点の移動を$f$とする．) \ $f$により，点$(1,\ 1)$は点$(2,\ 2)$に移り，点$(1,\ -1)$は点$(-1,\ 1)$に移る．次の問いに答えよ．

(1)行列$A$を求めよ．
(2)$f$によって自分自身に移る点は原点のみであることを証明せよ．
(3)直線$y=ax$上のすべての点が$f$によって$x$軸上に移る．このとき，$a$を求めよ．

座標平面上にO$(0,\ 0)$，A$(20,\ 0)$，B$(20,\ 10)$，C$(0,\ 10)$を頂点とする長方形がある．点PはAを出発して，辺AB上を毎秒1の速さでBに向かって進み，点Qは，点Pと同時にBを出発して，辺BC上を毎秒2の速さでCに向かって進む．以下の問に答えよ．

(1)点PがBに達するまでに，$\triangle$OPQの面積が最小になるのは，出発してから何秒後か．また，その最小の面積を求めよ．
(2)点PがBに達するまでの$\triangle$OPQの重心の軌跡を求めよ．

単位行列$E$の実数倍ではない行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．$A$で表わされる$xy$平面上の移動を$f$とする．

(1)$A^2=kE$を満たす実数$k$が存在するための必要十分条件は，$a+d=0$であることを示せ．
(2)$a+d=0$のとき，原点Oとは異なる点Pで，$f(P)$が直線OP上にあるものが存在すれば，$a^2+bc \geqq 0$であることを示せ．
(3)$a+d=0$かつ$a^2+bc \geqq 0$であるとする．このとき$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおけば，$(A-\lambda E)(A+\lambda E)=O$が成り立つことを示せ．ただし，$O$は零行列とする．
(4)(3)の仮定のもとで，$\lambda=\sqrt{a^2+bc}$とおく．原点Oとは異なる点Pで，$\text{Q}=f(P)$とすれば，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{OP}}$となるものが存在することを示せ．

原点をOとする座標空間において，2点A$(2,\ 0,\ 0)$，B$(0,\ 3,\ 0)$から等距離にある点の集合を平面Hとする．次の問いに答えよ．

(1)直線ABが平面Hに垂直であることを示せ．
(2)原点Oから平面Hに下ろした垂線の足を点Cとする．点Cの座標を求めよ．
(3)$d$を正の実数とする．PをH上の点とするとき，不等式$\text{OP} \leqq d$を満たす点Pの領域の面積を求めよ．

Oを原点とする座標平面上に点A$(7,\ 0)$，B$(4,\ 4)$がある．次の各問に答えよ．

(1)$\triangle$OABの外接円の半径を求めよ．
(2)$\triangle$OABの外接円の中心の座標を求めよ．
(3)$\triangle$OABの内接円の半径を求めよ．
(4)$\triangle$OABの内接円の中心の座標を求めよ．