座標平面上の点$\mathrm{A}(a,\ b)$を，原点を中心として$30^\circ$回転移動した点$\mathrm{B}$の$x$座標が$\sqrt{3}-2$で更に，点$\mathrm{B}$を，原点を中心として$-60^\circ$回転移動した点$\mathrm{C}$の$y$座標が$-1+2 \sqrt{3}$であるとき，点$\mathrm{A}(a,\ b)$を求めよ．

$\alpha>1$とする．$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{\alpha-1}$となる$t$に対して，$xy$平面上の点P$(\cos t,\ \sin t)$と点Q$(\cos \alpha t,\ \sin \alpha t)$を通る直線を$\ell_t$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell_t$の方程式を
\[ f(t)x+g(t)y=h(t) \]
とする．$h(t)=-\sin (\alpha-1)t$のとき，$f(t),\ g(t)$を求めよ．
(2)行列$\left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right)$は逆行列をもつことを示せ．
(3)$x(t),\ y(t)$を
\[ \left( \begin{array}{cc}
f(t) & g(t) \\
f^\prime(t) & g^\prime(t)
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x(t) \\
y(t)
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
h(t) \\
h^\prime(t)
\end{array} \right) \]
を満たすものとし，点R$(x(t),\ y(t))$が描く曲線を$C$とする．このとき，点Rは直線$\ell_t$上にあり，曲線$C$の点Rにおける接線は$\ell_t$と一致することを示せ．

平面上の点P$_n$，Q$_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次のように定める． \\
P$_1(0,\ 0)$，Q$_1(0,\ 1)$とする． P$_n$，Q$_n$が定められているとして，Q$_n$を中心にP$_n$を時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点をP$_{n+1}$とする．さらに，P$_{n+1}$を中心にQ$_n$を反時計回りに$\displaystyle \frac{\pi}{2}$回転させた点とP$_{n+1}$の中点をQ$_{n+1}$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)P$_2$，P$_3$の座標を求めなさい．
(2)すべてのP$_n$を通る直線の方程式を求めなさい．
(3)線分P$_n$Q$_n$の長さを$n$の式で表しなさい．
(4)P$_n$の$x$座標を$x_n$とおく．$x_n$を$n$の式で表しなさい．
(5)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めなさい．

四面体$\mathrm{OABC}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$とする．

(1)三角形$\mathrm{OAB},\ \mathrm{OAC},\ \mathrm{OBC},\ \mathrm{ABC}$はすべて直角三角形であることを示せ．
(2)$\mathrm{OC}$の中点$\mathrm{M}$から平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{N}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{CN}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}} \]
と表すときの$s,\ t$を，長さ$\mathrm{OA},\ \mathrm{OB}$で表せ．

中心が$(0,\ 0,\ 1)$，半径が1の球面が，$yz$平面に平行で点$(a,\ 0,\ 0) \ (0<a<1)$を通る平面と交わってできる図形を$C$とする．これに対して，次の問に答えよ．

(1)$C$上の点$\mathrm{P}(a,\ y_1,\ z_1)$と点$\mathrm{Q}(0,\ 0,\ 2)$を通る直線$\mathrm{PQ}$が$xy$平面と交わる点を$\mathrm{R}(x,\ y,\ 0)$とする．$y_1$と$z_1$のそれぞれを$a,\ x,\ y$を使って表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，点$\mathrm{R}$の軌跡を求めよ．

$a$を1より大きい実数とし，座標平面上に，点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 0)$をとる．曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( p,\ \frac{1}{p} \right)$と，曲線$\displaystyle y=\frac{a}{x}$上の点$\displaystyle \mathrm{Q} \left( q,\ \frac{a}{q} \right)$が，3条件

(1)$p>0,\ q>0$
(2)$\angle \mathrm{AOP}<\angle \mathrm{AOQ}$
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は3に等しい

をみたしながら動くとき，$\tan \angle \mathrm{POQ}$の最大値が$\displaystyle \frac{3}{4}$となるような$a$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．また，対数は自然対数，$e$は自然対数の底を表す．以下の問いに答えよ．

(1)不定積分$\displaystyle \int \log (ax) \, dx$を求めよ．
(2)$0<x<e$の範囲で曲線$y=\log (ax)$と直線$y=1$とが交わるように，$a$の値の範囲を定めよ．
(3)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．座標平面において，曲線$y=\log (ax)$と2直線$y=0,\ x=e$とで囲まれた図形のうち，$y \leqq 1$の部分の面積を$S_1$，$y \geqq 1$の部分の面積を$S_2$とする．$S=S_1-S_2$を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値が(2)で求めた範囲にあるとする．$S$の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

平行六面体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$において$\mathrm{AD}$を$2:1$に内分する点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{FG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．対角線$\mathrm{AG}$と平面$\mathrm{HMN}$との交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$，$\overrightarrow{\mathrm{HM}}$，$\overrightarrow{\mathrm{HN}}$それぞれを$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．

実数$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$に対して行列$A$を
\[ A=\left( \begin{array}{rr}
\cos 2\theta & \sin 2\theta \\
-\sin 2\theta & \cos 2\theta
\end{array} \right) \]
とする．また，実数$k \ (k>0)$に対して，$x,\ y$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
0 \\
k
\end{array} \right) \]
を満たす．そして，$x,\ y,\ k$を用いて座標平面上の2点$\mathrm{P}(x,\ y)$，$\mathrm{Q}(0,\ k)$を定める．原点を$\mathrm{O}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$k,\ \tan \theta$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{OPQ}$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$を$x$軸の周りに1回転させてできる立体の体積$V(\theta)$を求めよ．
(4)(3)で求めた$V(\theta)$について，$\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{\theta}{2\pi}V(\theta)$を求めよ．

座標平面上に$\mathrm{P}_0(1,\ 0)$を取る．$\mathrm{P}_0$を通り$y$軸と平行な直線と曲線$\displaystyle C:y=\frac{5x+3}{x+3}$との交点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$とする．次に，$\mathrm{P}_1$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell:y=x$との交点を$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とする．さらに，$\mathrm{P}_2$を通り$y$軸と平行な直線と$C$との交点を$\mathrm{P}_3(x_3,\ y_3)$とし，$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と直線$\ell$との交点を$\mathrm{P}_4(x_4,\ y_4)$とする．以下この操作を続けて点列$\mathrm{P}_5(x_5,\ y_5)$，$\mathrm{P}_6(x_6,\ y_6)$，$\cdots$，$\mathrm{P}_n(x_n,\ y_n)$，$\cdots$を定める．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C$のグラフを描け．また，その漸近線を求めよ．
(2)$\displaystyle z_n=\frac{x_{2n-1}-3}{x_{2n-1}+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくとき，$\displaystyle \frac{z_{n+1}}{z_n}$を求めよ．
(3)数列$\{z_n\}$はどのような数列か．また，その一般項$z_n$を求めよ．
(4)数列$\{x_n\}$の一般項$x_n$を求めよ．さらに，極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$を求めよ．