点Oを原点とする座標平面上に，2点A$(1,\ 0)$，B$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (90^\circ<\theta<180^\circ)$をとり，以下の条件をみたす2点C，Dを考える．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1, \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=0, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}=1 \]
また，$\triangle$OABの面積を$S_1$，$\triangle$OCDの面積を$S_2$とおく．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OD}}$の成分を求めよ．
(2)$S_2=2S_1$が成り立つとき，$\theta$と$S_1$の値を求めよ．
(3)$S=4S_1+3S_2$を最小にする$\theta$と，そのときの$S$の値を求めよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(25,\ 0)$，$\mathrm{B}(16,\ 12)$をとる．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$x$軸上に点$\mathrm{C}$をとり，$\triangle \mathrm{OBC}$を$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}$であるような二等辺三角形にしたい．そのような$\mathrm{C}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{C}$の$x$座標は正とする．
(2)$\angle \mathrm{AOB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{OBA}$の大きさを求めよ．
(4)座標平面上の点$\mathrm{P}$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を，$\mathrm{P}$に最も近い周上の点と$\mathrm{P}$との距離，と定める．このとき，点$(15,\ 6)$と$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{OAB}$の周との距離が最大となる$\triangle \mathrm{OAB}$の内部の点の座標を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
1 \quad (x \geqq 0) \\
0 \quad (x<0)
\end{array}
\right. \]
により定める．

(1)$a,\ b$は実数とする．$y = ax + b$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど2つの交点をもつための$a,\ b$に対する条件を求めよ．
(2)$p,\ q$は実数で$p>0$とする．$y = x^3 + 6px^2 + 9p^2x + q$のグラフと$y = f(x)$のグラフがちょうど4つの交点をもつための$p,\ q$に対する条件を求め，$pq$平面上に図示せよ．

2つずつ平行な3組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)4点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

（図は省略）

$2$つずつ平行な$3$組の平面で囲まれた立体を平行六面体という．下図のような平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CQRS}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{F}$，$\triangle \mathrm{DQS}$の重心を$\mathrm{G}$とする．また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$で表せ．
(2)$4$点$\mathrm{O},\ \mathrm{F},\ \mathrm{G},\ \mathrm{R}$は同一直線上にあることを示せ．

（図は省略）

$xy$平面上を原点$(0,\ 0)$から出発して動く点Pがある．1個のさいころを投げ，$1,\ 2$のいずれかの目が出れば点Pを$x$軸の正の方向に1動かし，$3,\ 4,\ 5,\ 6$のいずれかの目が出れば点Pを$y$軸の正の方向に1動かす．これを点Pの$x$座標，$y$座標のいずれか一方が3になるまでくり返すことを操作Aとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)操作Aによって点Pが点$(3,\ 0),\ (3,\ 1),\ (3,\ 2)$に到達する経路はそれぞれ何通りあるか．
(2)操作Aによって点Pの$x$座標が3になる確率を求めよ．
(3)操作Aによって点Pが動く経路の長さの期待値を求めよ．

$xyz$空間内の6つの平面$x=0,\ x=1,\ y=0,\ y=1,\ z=0,\ z=1$によって囲まれた立方体を$P$とおく．$P$を$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_x$とし，$P$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_y$とする．さらに，$P_x$と$P_y$の少なくとも一方に属する点全体でできる立体を$Q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$Q$と平面$z=t$が交わっているとする．このとき，$P_x$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_x$とし，$P_y$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_y$とする．$R_x$の面積，$R_y$の面積，および$R_x$と$R_y$の共通部分の面積を求めよ．
(2)$Q$と平面$z=t$が交わっているとき，$Q$を平面$z=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$Q$の体積を求めよ．

$xyz$空間内の6つの平面$x=0,\ x=1,\ y=0,\ y=1,\ z=0,\ z=1$によって囲まれた立方体を$P$とおく．$P$を$x$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_x$とし，$P$を$y$軸のまわりに1回転してできる立体を$P_y$とする．さらに，$P_x$と$P_y$の少なくとも一方に属する点全体でできる立体を$Q$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$Q$と平面$z=t$が交わっているとする．このとき，$P_x$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_x$とし，$P_y$を平面$z=t$で切ったときの切り口を$R_y$とする．$R_x$の面積，$R_y$の面積，および$R_x$と$R_y$の共通部分の面積を求めよ．
(2)$Q$と平面$z=t$が交わっているとき，$Q$を平面$z=t$で切ったときの切り口の面積$S(t)$を求めよ．
(3)$Q$の体積を求めよ．

関数$f(x)$の導関数$f^{\, \prime}(x)$は$f^{\, \prime}(x)=x^2-1$を満たし，さらに$f(3)=6$であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求めよ．
(2)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$と直線$y=kx$が接するときの$k$の値を求めよ．
(4)$\displaystyle g(x)=\frac{2}{9}x^3+\frac{2}{3}x^2-2x$とする．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフを同一座標平面上に図示せよ．また，それらの共有点の座標を求めよ．

座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標を
\[ x=e^t \cos t, y=e^t \sin t \]
とするとき，次の問に答えよ．

(1)時刻$t$における点Pの速度$\overrightarrow{v}$およびその大きさ$|\overrightarrow{v}|$を求めよ．
(2)$\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$のとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$が$x$軸の正の向きとのなす角$\alpha$を求めよ．
(3)原点をOとするとき，ベクトル$\overrightarrow{v}$とベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角$\theta$は一定であることを示し，$\theta$を求めよ．