「平面」について
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(170ページ目:全1904問中1691問~1700問を表示)![金沢大学](./img/univ/kanazawa.png)
座標平面において,円$x^2+y^2=1$上の点P$(a,\ b) \ (0<b<1)$における接線を$\ell$とし,$\ell$と$x$軸の交点をQとする.点R$(4,\ 0)$と$\ell$の距離が2であるとき,次の問いに答えよ.
(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ.
(2)$\triangle$PQRの面積を求めよ.
(1)点Pの座標$(a,\ b)$を求めよ.
(2)$\triangle$PQRの面積を求めよ.
![金沢大学](./img/univ/kanazawa.png)
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
0 & -r \\
-r & 0
\end{array} \right) \ (r>0)$と座標平面上の点P$_0(-1,\ 2)$,P$_1(x_1,\ y_1)$,P$_2(x_2,\ y_2)$,$\cdots$,P$_n(x_n,\ y_n)$,$\cdots$は,式
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.次の問いに答えよ.
(1)$A^{2k},\ A^{2k+1} \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(2)$x_n,\ y_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(3)線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$d_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.数列$\{d_n\}$の初項$d_1$と一般項$d_n$を求めよ.また,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} d_n$が収束し,その和が3となるような$r$の値を求めよ.
0 & -r \\
-r & 0
\end{array} \right) \ (r>0)$と座標平面上の点P$_0(-1,\ 2)$,P$_1(x_1,\ y_1)$,P$_2(x_2,\ y_2)$,$\cdots$,P$_n(x_n,\ y_n)$,$\cdots$は,式
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c}
-1 \\
2
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすものとする.次の問いに答えよ.
(1)$A^{2k},\ A^{2k+1} \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(2)$x_n,\ y_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を求めよ.
(3)線分P$_{n-1}$P$_n$の長さを$d_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする.数列$\{d_n\}$の初項$d_1$と一般項$d_n$を求めよ.また,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} d_n$が収束し,その和が3となるような$r$の値を求めよ.
![東京工業大学](./img/univ/toukou.png)
$a$を正の定数とする.原点をOとする座標平面上に定点A = A$(a,\ 0)$と,Aと異なる動点P = P$(x,\ y)$をとる.次の条件
\begin{eqnarray}
& & \text{AからPに向けた半直線上の点Qに対し} \nonumber \\
& & \frac{\text{AQ}}{\text{AP}} \leqq 2 \quad \text{ならば} \quad \frac{\text{QP}}{\text{OQ}} \leqq \frac{\text{AP}}{\text{OA}} \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすPからなる領域を$D$とする.$D$を図示せよ.
\begin{eqnarray}
& & \text{AからPに向けた半直線上の点Qに対し} \nonumber \\
& & \frac{\text{AQ}}{\text{AP}} \leqq 2 \quad \text{ならば} \quad \frac{\text{QP}}{\text{OQ}} \leqq \frac{\text{AP}}{\text{OA}} \nonumber
\end{eqnarray}
を満たすPからなる領域を$D$とする.$D$を図示せよ.
![名古屋大学](./img/univ/nagoya.png)
座標空間に8点
\begin{eqnarray}
& & \text{O}(0,\ 0,\ 0),\ \text{P}(1,\ 0,\ 0),\ \text{Q}(1,\ 1,\ 0),\ \text{R}(0,\ 1,\ 0), \nonumber \\
& & \text{A}(0,\ 0,\ 1),\ \text{B}(1,\ 0,\ 1),\ \text{C}(1,\ 1,\ 1),\ \text{D}(0,\ 1,\ 1) \nonumber
\end{eqnarray}
をとり,線分BCの中点をMとする.線分RD上の点をN$(0,\ 1,\ t)$とし,3点 O,M,Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK,Lとする.
(1)Kの座標を$t$で表せ.
(2)四面体OKLPの体積を$V(t)$とする.Nが線分RD上をRからDまで動くとき,$V(t)$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ.
\begin{eqnarray}
& & \text{O}(0,\ 0,\ 0),\ \text{P}(1,\ 0,\ 0),\ \text{Q}(1,\ 1,\ 0),\ \text{R}(0,\ 1,\ 0), \nonumber \\
& & \text{A}(0,\ 0,\ 1),\ \text{B}(1,\ 0,\ 1),\ \text{C}(1,\ 1,\ 1),\ \text{D}(0,\ 1,\ 1) \nonumber
\end{eqnarray}
をとり,線分BCの中点をMとする.線分RD上の点をN$(0,\ 1,\ t)$とし,3点 O,M,Nを通る平面と線分PDおよび線分PBとの交点をそれぞれK,Lとする.
(1)Kの座標を$t$で表せ.
(2)四面体OKLPの体積を$V(t)$とする.Nが線分RD上をRからDまで動くとき,$V(t)$の最大値と最小値およびそれらを与える$t$の値をそれぞれ求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
$xy$平面上の点Aを次のルール($*$)に従って動かす試行を繰り返す.
\[ (*) \left\{
\begin{array}{l}
1 \text{個のさいころを投げ,} \\
(\text{A}) \; \text{1または2の目が出たとき,} \ x \text{軸の正の方向に1動かす.} \\
(\text{B}) \; \text{3または4の目が出たとき,} \ y \text{軸の正の方向に1動かす.} \\
(\text{C}) \; \text{5または6の目が出たとき,動かさない.}
\end{array}
\right. \]
Aは始め原点Oにある.直線$x+y=3$を$\ell$として,次の問いに答えよ.
(1)5回の試行後,Aが$(2,\ 1)$にある確率を求めよ.
(2)$n \geqq 3$に対し,$n$回の試行後,Aが$\ell$上にある確率を求めよ.
(3)Aが$\ell$上に来たとき,または(C)が合計2回生じたとき,試行を終了する.
(4)Aが$\ell$上に来て試行が終了する確率を求めよ.
(5)終了までの試行回数の期待値を求めよ.
\[ (*) \left\{
\begin{array}{l}
1 \text{個のさいころを投げ,} \\
(\text{A}) \; \text{1または2の目が出たとき,} \ x \text{軸の正の方向に1動かす.} \\
(\text{B}) \; \text{3または4の目が出たとき,} \ y \text{軸の正の方向に1動かす.} \\
(\text{C}) \; \text{5または6の目が出たとき,動かさない.}
\end{array}
\right. \]
Aは始め原点Oにある.直線$x+y=3$を$\ell$として,次の問いに答えよ.
(1)5回の試行後,Aが$(2,\ 1)$にある確率を求めよ.
(2)$n \geqq 3$に対し,$n$回の試行後,Aが$\ell$上にある確率を求めよ.
(3)Aが$\ell$上に来たとき,または(C)が合計2回生じたとき,試行を終了する.
(4)Aが$\ell$上に来て試行が終了する確率を求めよ.
(5)終了までの試行回数の期待値を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
1個のいびつなさいころがある.$1,\ 2,\ 3,\ 4$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{p}{2}$であり,$5,\ 6$の目が出る確率はそれぞれ$\displaystyle \frac{1-2p}{2}$である.ただし,$\displaystyle 0<p<\frac{1}{2}$とする.このさいころを投げて,$xy$平面上の点Qを次のように動かす.
\mon[(i)] 1または2の目が出たときには,Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす.
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには,Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす.
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには,Qを動かさない.
Qは最初原点$(0,\ 0)$にある.このさいころを$(n+1)$回投げ,Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする.ただし,$n$は自然数とする.次の問いに答えよ.
(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ.
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ.
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ,$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする.得点の期待値を求めよ.
\mon[(i)] 1または2の目が出たときには,Qを$x$軸の正の方向に1だけ動かす.
\mon[(ii)] 3または4の目が出たときには,Qを$y$軸の正の方向に1だけ動かす.
\mon[(iii)] 5または6の目が出たときには,Qを動かさない.
Qは最初原点$(0,\ 0)$にある.このさいころを$(n+1)$回投げ,Qが通った点(原点およびQの最終位置の点を含む)の集合を$S$とする.ただし,$n$は自然数とする.次の問いに答えよ.
(1)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が点$(1,\ n-1)$を含む確率を求めよ.
(2)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が領域$x+y<n$に含まれる確率を求めよ.
(3)さいころを$(n+1)$回投げたとき,$S$が点$(k,\ n-k)$を含むならば得点$2^k$点$(k=0,\ 1,\ \cdots,\ n)$が与えられ,$S$が領域$x+y<n$に含まれるならば得点0点が与えられるとする.得点の期待値を求めよ.
![横浜国立大学](./img/univ/yokokoku.png)
$a,\ b$を正の実数とする.曲線
\[ C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1 \]
は領域$D:x^2+y^2 \leqq 1$に含まれている.次の問いに答えよ.
(1)$(a,\ b)$が存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ.
(2)$C$が囲む部分の面積が最大になるときの$a,\ b$の値を求めよ.
\[ C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{(y-b)^2}{b^2}=1 \]
は領域$D:x^2+y^2 \leqq 1$に含まれている.次の問いに答えよ.
(1)$(a,\ b)$が存在する範囲を$ab$平面上に図示せよ.
(2)$C$が囲む部分の面積が最大になるときの$a,\ b$の値を求めよ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
平面上に4点O,A,B,Cがあり,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$は次の条件を満たして
いる.
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| =\sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき,次の問に答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ.
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする.AHの長さを求めよ.
いる.
\begin{eqnarray}
& & |\overrightarrow{\mathrm{OA}}| = 1,\ |\overrightarrow{\mathrm{OB}}| =\sqrt{2},\ |\overrightarrow{\mathrm{OC}}| = \sqrt{3} \nonumber \\
& & \overrightarrow{\mathrm{OA}}+ \overrightarrow{\mathrm{OB}}+ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{0}} \nonumber
\end{eqnarray}
このとき,次の問に答えよ.
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}$であることを示せ.
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする.AHの長さを求めよ.
![信州大学](./img/univ/shinshu.png)
座標平面に,一直線上にない3点O$(0,\ 0)$,P$(a,\ b)$,Q$(c,\ d)$がある.点P,Qは,
行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & m-1 \\
m & 1
\end{array} \right)$によってそれぞれ点P$^\prime$,Q$^\prime$に移され,3点O,P$^\prime$,Q$^\prime$も一直線上にないとする.
(1)$\triangle$OPQの面積$S$が$\displaystyle S=\frac{1}{2}|ad-bc|$で与えられることを証明せよ.
(2)$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積が$\triangle$OPQの面積より大きくなるような定数$m$の範囲を求めよ.
行列$\left( \begin{array}{cc}
1 & m-1 \\
m & 1
\end{array} \right)$によってそれぞれ点P$^\prime$,Q$^\prime$に移され,3点O,P$^\prime$,Q$^\prime$も一直線上にないとする.
(1)$\triangle$OPQの面積$S$が$\displaystyle S=\frac{1}{2}|ad-bc|$で与えられることを証明せよ.
(2)$\triangle$OP$^\prime$Q$^\prime$の面積が$\triangle$OPQの面積より大きくなるような定数$m$の範囲を求めよ.
![東京大学](./img/univ/tokyo.png)
$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線
\[ C:\quad y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2} \]
と,その上の相異なる$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を考える.
(1)$\mathrm{P}_i \ (i=1,\ 2)$を通る$x$軸に平行な直線と,直線$y=x$との交点を,それぞれ$\mathrm{H}_i \ (i=1,\ 2)$とする.このとき$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{H}_1$と$\triangle \mathrm{OP}_2 \mathrm{H}_2$の面積は等しいこと示せ.
(2)$x_1<x_2$とする.このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と,線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{O}$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{O}$で囲まれる図形の面積を,$y_1$,$y_2$を用いて表せ.
\[ C:\quad y=\frac{1}{2}x+\sqrt{\frac{1}{4}x^2+2} \]
と,その上の相異なる$2$点$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$,$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$を考える.
(1)$\mathrm{P}_i \ (i=1,\ 2)$を通る$x$軸に平行な直線と,直線$y=x$との交点を,それぞれ$\mathrm{H}_i \ (i=1,\ 2)$とする.このとき$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{H}_1$と$\triangle \mathrm{OP}_2 \mathrm{H}_2$の面積は等しいこと示せ.
(2)$x_1<x_2$とする.このとき$C$の$x_1\leqq x\leqq x_2$の範囲にある部分と,線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{O}$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{O}$で囲まれる図形の面積を,$y_1$,$y_2$を用いて表せ.