連立不等式
\[ y \geqq 0,\quad x^2+y^2 \leqq 1,\quad y \geqq 6x^2-4 \]
の表す$xy$平面上の領域を$D$とするとき，次の問に答えよ．

(1)領域$D$を図示せよ．
(2)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき$y-x$の最大値と最小値を求めよ．
(3)$D$の面積を求めよ．

$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$xy$平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t)$，$\mathrm{Q}(t-1,\ 1-t)$を結ぶ線分$\mathrm{PQ}$の通過する領域を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$D$を図示せよ．
(2)$D$の面積を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$のどの$2$辺も互いに直交し，長さがすべて$1$である．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上に点$\mathrm{D}$を
\[ \mathrm{OD}=1,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{BOD}<{90}^\circ,\quad 0^\circ<\angle \mathrm{COD}<{90}^\circ \]
となるようにとり，$\angle \mathrm{BOD}=\theta$，$\cos \theta=x$とおく．線分$\mathrm{AB}$を$(x+2):x$に外分する点を$\mathrm{E}$，線分$\mathrm{AC}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{F}$，三角形$\mathrm{DEF}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を，$x,\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を，$x,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{G}$が$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面上にあるような$x$の値を求めよ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$の内積の最小値と，そのときの$x$の値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$と$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 0)$とを焦点とし，直線$\ell:y=kx$と直線$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線とする双曲線$C$がある．$C$上に点$\mathrm{P}$をとるとき，以下の問いに答えよ．ただし，$k$は正の定数とする．

(1)双曲線$C$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，$\ell,\ \ell^\prime$に平行な直線をそれぞれ$m,\ m^\prime$とする．$4$つの直線$\ell,\ \ell^\prime,\ m,\ m^\prime$で囲まれた平行四辺形の面積を$S$とするとき，$S$は$C$上の点$\mathrm{P}$のとり方によらずに一定であることを示せ．
(3)$k=2$のとき，$\mathrm{PF} \cdot \mathrm{PF}^\prime=2 \mathrm{OP}^2$をみたす$C$上の点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$は第$1$象限にあるものとする．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に，$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし，直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある．ただし，$k>0$とする．$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り，$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち，傾きが正のものを$m$，傾きが負のものを$m^\prime$とする．$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$，$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし，四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$，$\mathrm{R}$の座標を，$a,\ b,\ k$を用いて表せ．
(3)$S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ．
(4)$k$が$k>0$の範囲を動くとき，$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ．

座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$，$\mathrm{Q}(t-5,\ t^2-4t+2)$に対して，$t$が$1 \leqq t \leqq 3$の範囲を動くとき，以下の各問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$を表す直線の方程式および定義域を，$t$を用いて表せ（答えのみでよい）．
(2)線分$\mathrm{PQ}$が通過する範囲$D$を求め，図示せよ．

$2$つの関数$f(x)=x^3-x^2-x+c$，$g(x)=4x+1$がある．$x$は$0 \leqq x \leqq a$を満たす．ただし，$a$は整数，$c$は実数とする．

$xy$平面上の曲線$y=f(x)$上の異なる$2$点$(0,\ f(0))$，$(a,\ f(a))$を結ぶ直線は，$\displaystyle x=\frac{a}{3}$における$y=f(x)$の接線と直交する．このとき，


(1)$a=[$24$]$である．
(2)$c=0$のとき，関数$f(x)$の最大値は$[$25$]$である．
(3)方程式$f(x)=g(x)$が$2$つの異なる実数解を持つような$c$の値の範囲は
\[ [$26$] \leqq c<\frac{[$27$][$28$][$29$]}{[$30$][$31$]} \]
である．

中心の座標が$(1,\ 1)$，半径が$2 \sqrt{2}$である座標平面上の円を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して$t=x+y$とおく．

(1)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき$t$が取り得る値の範囲は$[$1$][$2$] \leqq t \leqq [$3$][$4$]$である．特に$t=0$のとき，$x^2+y^2=[$5$]$が成り立つ．
(2)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$xy$の値は$t=[$6$]$のとき最小値$\displaystyle \frac{[$7$][$8$]}{[$9$]}$をとる．
(3)$\mathrm{P}(x,\ y)$が$C$上を動くとき，$x^3+y^3$の値は$t=[$10$]+\sqrt{[$11$][$12$]}$のとき最大になる．

$f(x)=x^3-x$とする．$xy$平面上の点$(p,\ q)$から曲線$y=f(x)$へ引いた接線を考える．次の問に答えよ．

(1)直線$y=m(x-p)+q$が曲線$y=f(x)$の接線となるための条件を$m,\ p,\ q$を用いて表せ．
(2)点$(p,\ q)$から曲線$y=f(x)$に$3$本の接線を引くことができるとき，$p,\ q$の条件を求めよ．
(3)$(2)$の条件を満たす点$(p,\ q)$の範囲を図示せよ．

$xyz$空間上に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ \sqrt{3})$をとる．$xy$平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b,\ 0)$は，線分$\mathrm{AP}$の長さが$2$で，$a \geqq 0$，$b \geqq 0$となるように動く．このとき線分$\mathrm{AP}$がえがく図形を$F$とする．次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡を$xy$平面上に図示せよ．
(2)点$\mathrm{Q}(x,\ y,\ z)$を図形$F$上の点とするとき，$z$を$x,\ y$を用いて表せ．
(3)図形$F$，座標平面$x=0$，$y=0$，$z=0$によって囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる回転体を$V$とする．$V$の平面$x=t$による切り口の面積$S(t)$を，$t$を用いて表せ．
(4)$V$の体積を求めよ．