$xy$平面上の原点O，定点A$(a,\ 0) \ (a>0)$，定点B$(0,\ b) \ (b>0)$を頂点とする直角三角形OABがある．直角三角形OAB内の点M$(p,\ q)$から辺OA，OB，ABに引いた垂線と各辺との交点をそれぞれE，F，Gとする．

(1)$L=\text{ME} \cdot \text{MF} \cdot \text{MG}$とおいたとき，$L$を$a,\ b,\ p,\ q$で表せ．
(2)$L$において，$q$を固定し，$p$を変数としたとき，$L$の最大値$L_1$を$a,\ b,\ q$で表せ．
(3)$L_1$において，$q$を変数としたとき，$L_1$の最大値$L_2$を$a,\ b$で表せ．

点Q，Rを$xy$平面上の放物線$C:y=x^2$上の相異なる点とする．

(1)$q<p^2$を満たす実数$p,\ q$に対して，点P$(p,\ q)$を考える．Q，Rにおける$C$の2本の接線がともにPを通るとき，$C$とこれらの接線で囲まれた部分の面積を，$p,\ q$を用いて表わせ．
(2)(1)で求めた面積を$S_1$とする．直線QRと$C$で囲まれた部分の面積を$S_2$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．

座標平面において，原点を通り傾きが$\tan 2\theta$の直線を$\ell$で表す．ただし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{4}$を満たすとする．中心が第1象限に属し，直線$\ell$と$x$軸に接する半径1の円$C$を考える．さらに，円$C$と直線$\ell$および$x$軸に接し，中心が第1象限に属する2つの円のうち，面積が大きいものを$C^\prime$で表す．以下の問いに答えよ．

(1)円$C$の方程式を求めよ．
(2)円$C^\prime$の半径を，$\theta$の関数として表せ．
(3)円$C^\prime$の円周の長さが，円$C$の円周の長さの3倍になるように$\theta$の値を定めよ．

$2$次関数$f(x)=x^2-2x+2$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t$を実数とする．$t-1 \leqq x \leqq t$の範囲において，$f(x)$の最大値を$t$の関数の形で求めよ．
(2)$(1)$で求めた$t$の関数を$p(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,\ p(t))$の軌跡を描け．
(3)$t$を実数とする．$t-1 \leqq x \leqq t$の範囲において，$f(x)$の最小値を$t$の関数の形で求めよ．
(4)$(3)$で求めた$t$の関数を$q(t)$とおく．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，座標平面上の点$(t,\ q(t))$の軌跡を描け．

座標平面上の2点A$(-2,\ 0)$，B$(2,\ 0)$を端点とする線分ABと楕円の上半分$x^2+4y^2=4,\ y \geqq 0$に4つの頂点がある台形ABCDについて，以下の問いに答えよ．ただし，点Cは第1象限，点Dは第2象限に属しているとする．

(1)点Cの$x$座標を$\displaystyle 2\cos \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とするとき，台形ABCDの面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)台形ABCDの面積の最大値を求めよ．また，そのときの点Cの$x$座標を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$のグラフを$C$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x^2}$の増減，極値，$C$の凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，$C$を座標平面上に描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\frac{\log x}{x^2}=0$を用いてもよい．
(2)$a$を定数とする．方程式$\log x=ax^2$の異なる実数解の個数を調べよ．

$xy$平面において$y=x^2$で表される放物線を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$を通る直線で，点$\mathrm{T}$における$C$の接線と直交するものを，点$\mathrm{T}$における$C$への垂線と呼ぶことにする．以下の問に答えなさい．

(1)点$\mathrm{T}(t,\ t^2)$における$C$への垂線の方程式を求めなさい．
(2)点$\displaystyle \mathrm{A} \left( -12,\ \frac{15}{2} \right)$からひいた$C$への垂線の方程式をすべて求めなさい．
(3)$xy$平面上の点$\mathrm{B}(p,\ q)$から$C$への垂線が$3$本ひけるとき，$p,\ q$が満たすべき必要十分条件を求めなさい．

座標平面上の点$(1,\ 0)$に物体$\mathrm{A}$がある．さいころを振り，$1$から$4$の目が出たら原点から距離$1$だけ遠ざけ，$5$または$6$の目が出たときには原点のまわりに$15$度時計方向と逆回りに回転させる．物体$\mathrm{A}$が$y$軸に達するまでこれを続ける．次の問いに答えよ．

(1)物体$\mathrm{A}$が点$(0,\ n) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に達する確率$P_n$を求めよ．
(2)$P_n$を最大にする$n$を求めよ．

座標空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(3,\ 3,\ -3)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は適当な$2$つの実数$s,\ t$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すことができる．以下の問に答えなさい．

(1)平面$\alpha$上にない点$\mathrm{Q}(a,\ b,\ c)$に対して，線分$\mathrm{QH}$が平面$\alpha$と垂直になるような$\alpha$上の点$\mathrm{H}$の座標を$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2)四面体$\mathrm{OABD}$の体積が四面体$\mathrm{OABC}$の体積と等しくなるように$z$軸上の点$\mathrm{D}$の座標を求めなさい．

座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める：
\[ \left( \begin{array}{c}
c \\
d
\end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c}
a \\
b
\end{array} \right) \]
次の問に答えなさい．

(1)$K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3)$0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が
\[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \]
に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする．
（図は省略）