次の問に答えよ．

(1)$n$を自然数とする．次の式の値を求めよ．$1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+{(2n-1)}^2-{(2n)}^2$
(2)赤球$6$個と白球$4$個が入っている袋から$3$個の球を同時に取り出したとき，赤球が$2$個で白球が$1$個になる確率を求めよ．
(3)$p,\ q,\ r$は実数とする．平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して，点$\mathrm{Q}(x^\prime,\ y^\prime)$を
\[ \left\{ \begin{array}{l}
x^\prime=x+py \\
y^\prime=qx+ry
\end{array} \right. \]
で定める．直線$y=2x+1$を$\ell$とおく．点$\mathrm{P}$が直線$\ell$上を動くとき，常に点$\mathrm{Q}$も直線$\ell$上にあるための$p,\ q,\ r$の条件を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)座標平面上の点$(x,\ y)$と点$(a,\ b)$とを結ぶ線分の傾きを求めよ．ただし，$x \neq a$とする．
(2)次の連立不等式の表す領域$D$を図示せよ．$x^2+y^2 \leqq 1,\ y \geqq x^2-1$
(3)$(2)$の領域$D$内の点$(x,\ y)$に対して$\displaystyle \frac{4y-7}{x-3}$が最大となる$(x,\ y)$を求めよ．

原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$と点$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$を通る直線上に点$\mathrm{M}$をとり，$xy$平面上に点$\mathrm{P}$をとる．$3$条件

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}$
(ii) $\angle \mathrm{POA}={60}^\circ$
(iii) $\mathrm{MP}=1$

が同時に成り立つとき，点$\mathrm{M}$と点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B} \displaystyle \biggl( 0,\ \frac{1}{2},\ 0 \biggr)$，$\mathrm{C} \displaystyle \biggl( 0,\ 0,\ \frac{1}{3} \biggr)$の定める平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を満たすようにとり，点$\mathrm{P}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{PQ}$を下ろす．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{[ケ] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[コ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[サ] \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{[シ]} \]
となる．ただし，$[シ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

$A=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
3 & 6
\end{array} \right)$とする．点$(x,\ y)$が$xy$平面上を動くとき，行列$A$による変換$\left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)$で移される点$(X,\ Y)$は$XY$平面上の直線$\ell:Y=[ト]X$上を動く．

次に，行列$G=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a
\end{array} \right)$が$AGA=A$を満たすとする．点$(X,\ Y)$が$\ell$上を動くとき，その各点で列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$が定まる．このとき，列ベクトル$G \left( \begin{array}{c}
X \\
Y
\end{array} \right)$の大きさは$X$の値により変化するが，いずれの場合においても$\displaystyle a=\frac{[ナ]}{[ニ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヌ]}{[ネ]}$のとき最小となる．ただし，$[ニ]$，$[ネ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に点$\mathrm{A}(3,\ 0)$を中心とし半径が$r_1$の円$C_1$と，点$\mathrm{B}(1,\ 0)$を中心とし半径が$r_2$の円$C_2$がある．$C_1$上に$y$座標が正である点$\mathrm{P}_1$をとり，$\angle \mathrm{OAP}_1 = \theta$とする．$C_2$上に$y$座標が負である点$\mathrm{P}_2$を，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}_1}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}_2}$が平行であるようにとるとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$の座標を$r_1,\ r_2,\ \theta$でそれぞれ表しなさい．
(2)$r_1+r_2 < 2$とする．$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$を通る直線が$C_1$と$C_2$の両方に接するとき，$\cos \theta$を求めなさい．
(3)$(2)$の条件のもとで$\triangle \mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$の面積を$r_1,\ r_2$で表しなさい．

座標空間の3点A$(1,\ 2,\ 2)$，B$(2,\ 1,\ 1)$，C$(2,\ 4,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とする．点D$(0,\ 2,\ 1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 1,\ 1)$に平行な直線を$\ell_1$とする．また点Dを通り，ベクトル$\overrightarrow{b}=(-1,\ -1,\ 1)$に平行な直線を$\ell_2$とする．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\ell_1$と$\alpha$の交点をEとし，$\ell_2$と$\alpha$の交点をFとする．E，Fの座標を求めなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DF}}$のなす角を$\theta \ (0 \leqq \theta \leqq \pi)$とおくとき，$\cos \theta$の値を求めなさい．
(3)$\triangle$DEFの面積を求めなさい．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円を$C$とし，点$\mathrm{P}(p,\ q)$は$p^2 +q^2 > 1$をみたすものとする．$\mathrm{P}$から$C$へ接線をひき，その接点を$\mathrm{T}(s,\ t)$とする．$\mathrm{P}$を中心とし$\mathrm{T}$を通る円を$D$として，$D$は点$\mathrm{A}(a,\ 0)$を通るものとする．次の問いに答えよ．

(1)$(a-p)^2 = p^2-1$であることを示せ．
(2)$0<a<1$のとき$p>1$であることを示し，$a$を$p$を用いて表せ．

$s,\ t$を実数とし，座標平面上の$4$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{P}(0,\ t)$，$\mathrm{Q}(s,\ t)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)不等式$\displaystyle \sqrt{(1+s)^2+t^2} \geqq \frac{1+t^2+s}{\sqrt{1+t^2}}$が成り立つことを示せ．
(2)不等式$\mathrm{PA}+ \mathrm{PB} \leqq \mathrm{QA}+ \mathrm{QB}$が成り立つことを示せ．

$a$は実数で$0 < a < 1$とする．座標平面上の第$1$象限にある曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x}$と$2$直線$y = x,\ y = ax$で囲まれる部分$P(a)$の面積を$S(a)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$S(a)$を$a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle 2S(\frac{1}{e}) \leqq S(a) \leqq 2S(\frac{1}{e})+1$となる$a$の範囲を求めよ．
(3)$P(a)$を$x$軸の周りに回転して得られる回転体の体積$V(a)$と$\displaystyle \lim_{a \to 0} V(a)$を求めよ．