$x,\ y$は実数で，曲線$9x^2+16y^2-144=0$を$\ell$とする．

(1)曲線$\ell$上の点で，$x+y$の値の最大値は$[$4$]$である．
(2)座標平面上の第$1$象限において，曲線$\ell$上の点を$\mathrm{P}$とする．曲線$\ell$上の点$\mathrm{P}$における接線と，$x$軸，$y$軸とで囲まれる三角形の面積の最小値は$[$5$]$であり，このときの点$\mathrm{P}$の座標は$[$6$]$である．

$2$つの放物線$y=-x^2+2x+3$，$y=x^2-1$について，以下の問題に答えよ．

(1)$2$つの放物線を座標平面上に図示し，交点の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線に囲まれた部分の面積を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内の$3$点$\mathrm{A}(a,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ c)$に対し，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\pi$とおく．ただし，$a>0$，$b>0$，$c>0$とする．次の問いに答えなさい．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}+u \overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおく．点$\mathrm{P}$が平面$\pi$上にあって，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$が平面$\pi$と垂直になるように，実数$s,\ t,\ u$の値をそれぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(2)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし，点$\mathrm{Q}$は$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=r \overrightarrow{\mathrm{CM}}$を満たす点であるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさ$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$を最小にする実数$r$の値と，そのときの$|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|$の値を，それぞれ$a,\ b,\ c$を用いて表しなさい．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$，$\triangle \mathrm{OBC}$，$\triangle \mathrm{OCA}$の面積を，それぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とするとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S$を$S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表しなさい．

次の問いに答えなさい．

原点を$\mathrm{O}$とする$xy$座標平面上に，$2$点$\mathrm{P}(1,\ 2)$，$\mathrm{Q}(2,\ 0)$がある．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る$2$次関数のグラフを$C$，また，$C$の$\mathrm{O}$における接線を$\ell$とする．

(1)$C$の方程式は，$y=[　]$である．
(2)$C$と$x$軸で囲まれる図形の面積は$[　]$である．
(3)$\ell$の方程式は，$y=[　]$である．
(4)$\ell$と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とするとき，$\tan \theta=[　]$である．ただし，$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$とする．
(5)$C$を$x$軸方向に$a$，$y$軸方向に$b$だけ平行移動して得られる曲線を$C^\prime$とする．$\ell$が$C^\prime$の接線であるとき，$a,\ b$が満たす条件を求めなさい．

四面体$\mathrm{OABC}$について，次の$[　]$にあてはまる正の数を記入せよ．ただし，$[ア]:[イ]$，$[ウ]:[エ]$および$[オ]:[カ]$については，もっとも簡単な整数比で表すこと．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，線分$\mathrm{OG}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，直線$\mathrm{BD}$と平面$\mathrm{AOC}$の交点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{OE}$と直線$\mathrm{AC}$との交点を$\mathrm{F}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OG}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{BD}}=[　] \overrightarrow{\mathrm{OA}}-[　] \overrightarrow{\mathrm{OB}}+[　] \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
となる．また，$\mathrm{OE}:\mathrm{EF}=[ア]:[イ]$，$\mathrm{BD}:\mathrm{DE}=[ウ]:[エ]$であり，二つの四面体$\mathrm{ABFO}$と$\mathrm{CEFB}$の体積比は$[オ]:[カ]$である．
(2)$\angle \mathrm{COB}={30}^\circ$，$\angle \mathrm{AOC}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{CAO}={60}^\circ$，$\mathrm{OA}=\sqrt{3}+1$，$\mathrm{BC}=\sqrt{2}$とすると，$\mathrm{OC}=[　]$，$\mathrm{CA}=[　]$であり，$\mathrm{OB}$は$[$*$]$または$[$**$]$である．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)平面上にサイコロがある．サイコロの$4$つの側面のいずれかの面を$\displaystyle \frac{1}{4}$の確率で底面にする操作を考える．$1$の目が出ているサイコロに対してこの操作を$n$回繰り返す．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1$の目の裏面は$6$の目である．

(i) この操作を$n$回行ったとき，$1$か$6$の目が出ている確率を$P_n$とする．
$P_1=[　]$，$P_2=[　]$，$P_3=[　]$である．
(ii) $P_n$を$n$の式で表すと，$P_n=[　]$である．

(2)\begin{mawarikomi}{35mm}{
（図は省略）
}
$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{OAB}={90}^\circ$となる直角二等辺三角形である．$\angle \mathrm{BOA}$の二等分線上の点$\mathrm{C}$を$\mathrm{BC} \perp \mathrm{OC}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の問に答えよ．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[　] \overrightarrow{a}+[　] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\mathrm{AC}$の長さの$2$乗を求めると，$\mathrm{AC}^2=[　]$である．

\end{mawarikomi}

座標空間において，原点を$\mathrm{O}$とし，点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$をとる．また，$xy$平面上にあり，中心が原点，半径が$1$の円を$C$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$C$の$y \geqq 0$の部分にある点$\mathrm{P}$について$\angle \mathrm{AOP}=t (0 \leqq t \leqq \pi)$とする．このとき，点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=-\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を満たす点とし，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1,\ 1)$をとる．このとき，内積$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}$を求めよ．また，$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|^2=m-n \sin (t+\alpha)$となるような定数$\displaystyle m,\ n,\ \alpha \left( \text{ただし，} 0 \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{PBQ}=\theta$とおくとき，$\cos \theta$の最大値と最小値，およびそれらのときの$t$の値を求めよ．
(4)$\cos \theta$が上で求めた最小値をとるとき，三角形$\mathrm{PBQ}$の面積を求めよ．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$m$を実数とするとき，$2$つの$2$次方程式
$2x^2+8x+2m=0$ $\cdots\cdots①$
$x^2+mx+2m-4=0$ $\cdots\cdots②$
が共通の解をもつのは，$m=[$*$]$または$m=[$**$]$のときである．ただし，$[$*$]>[$**$]$とする．$m=[$*$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[　]$であり，$m=[$**$]$のとき，$①$と$②$の共通の解は$x=[　]$である．
(2)座標平面上に点$\mathrm{P}$がある．サイコロを投げて，偶数の目がでたら$\mathrm{P}$は$x$軸の正の方向に$1$動き，$1$または$5$の目がでたら$y$軸の正の方向に$1$動き，$3$の目がでたときには動かないとする．最初$\mathrm{P}$が原点にあったとする．サイコロを$5$回投げた後，$\mathrm{P}$が座標$(4,\ 1)$にある確率は$[　]$，$(3,\ 1)$にある確率は$[　]$，$(2,\ 1)$にある確率は$[　]$である．また，$n$を$3$以上の自然数とし，サイコロを$n$回投げた後，$\mathrm{P}$が$(n-3,\ 1)$にある確率は$[　]$である．

次の文章中の$[　]$に適する式または数値を記入せよ．

(1)$k$は実数とする．$xy$平面において直線
\[ y=-x+1 \cdots\cdots① \]
が放物線
\[ y=-x^2+k \cdots\cdots② \]
に接するとする．このとき$k$の値は$[　]$である．また，放物線$②$と直線$①$が共有点をもたないような$k$の値の範囲は$[$*$]$である．放物線$②$上の点$\mathrm{P}(a,\ -a^2+k)$から直線$①$までの距離$d$は$d=[　]$で表される．$k$が$[$*$]$の範囲にあるとき，放物線$②$上の点$\mathrm{P}(a,\ -a^2+k)$から直線$①$までの距離$d$が最小になるのは$a=[　]$のときで，そのときの距離$d$の値は$[　]$である．
(2)数列$\{a_n\}$において初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とする．このとき
\[ S_n=2a_n+5n-12 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立っているとする．数列の初項$a_1$は$S_1$と一致することを使うと，$a_1$の値は$[　]$であることがわかる．第$n$項$a_n$を$a_{n-1}$で表すと$a_n=[　] (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となるので，$a_n,\ S_n$をそれぞれ$n$の式で表すと$a_n=[　]$，$S_n=[　]$となる．

$xy$平面において，$2$つの放物線$y=x^2$と$y=2x^2-3x+2$の$2$つの共有点のうち$x$座標が小さい方を$\mathrm{A}$，大きい方を$\mathrm{B}$とする．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)$2$つの放物線と直線$x=\sqrt{3}$で囲まれ，$x \leqq \sqrt{3}$の範囲にある部分の面積を求めよ．
(3)放物線$y=x^2$上の点$(p,\ p^2)$における放物線$y=x^2$の接線の方程式と，放物線$y=2x^2-3x+2$上の点$(q,\ 2q^2-3q+2)$における放物線$y=2x^2-3x+2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$(3)$において，$2$つの接線が一致し，$p$が点$\mathrm{A}$の$x$座標より小さいとする．$p$の値を求めよ．