座標平面上の点$(2,\ 1)$を点$(4,\ 7)$へ移す$1$次変換$f$を表す行列を$\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & a+b
\end{array} \right)$とする．

(1)$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$f$の逆変換を表す行列を求めよ．
(3)$f$が直線$y=mx$上の任意の点$(c,\ cm)$を再び$y=mx$上に移すとき，$m$の値を求めよ．

正の実数$a,\ b$について，座標平面上に$2$つの円$C_1:x^2+y^2-8x-20y+91=0$，$C_2:x^2+y^2+4x-4y+8-a=0$と放物線$D:y=b(x-4)^2-2$を考える．

(1)$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(3)$C_1$と$C_2$が$1$点$\mathrm{P}$を共有し，$\mathrm{P}$を除いて$C_1$が$C_2$の外部にあるとき，$\mathrm{P}$の座標と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線の方程式を求めよ．
(4)$C_1$と$D$が異なる$2$点のみを共有するとき，$b$の値を求めよ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2$と$4$点$\mathrm{P}(p,\ p^2)$，$\mathrm{Q}(-p,\ p^2)$，$\mathrm{R}(-p,\ p^2+2p)$，$\mathrm{S}(p,\ p^2+2p)$がある．また，$3$次関数$y=f(x)$は$x=-p$で極小値$p^2$，$x=p$で極大値$p^2+2p$をとる．ただし，$p>0$とする．

(1)$C$と線分$\mathrm{PQ}$で囲まれた部分の面積と正方形$\mathrm{PQRS}$の面積が等しくなる$p$の値を求めよ．
(2)$f(x)$を$p$で表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$上の点$(a,\ f(a))$における接線が$\ell$と垂直になるとき，$a$を$p$で表せ．

座標平面上に，放物線$C:y=x^2-2x+1$と点$\mathrm{A}(1,\ -1)$がある．$\mathrm{A}$を通る$C$の接線のうち，傾きが負のものを$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$に関して，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{5}{4},\ \frac{1}{16} \right)$と線対称な点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{Q}$の座標を求め，$C$，$\ell$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を同一平面上に図示せよ．
(3)$\ell$に関して，$y$軸と線対称な直線を$m$とする．$m$の方程式を求めよ．
(4)$\ell$に関して，$C$と線対称な曲線を$D$とする．$D$と$y$軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)放物線$y=x^2+2x$を$x$軸方向に$p$，$y$軸方向に$\displaystyle \frac{1}{2}p^2$だけ平行移動して得られる放物線$C$の方程式を求めると$y=[ア]$である．$C$と直線$y=x$が異なる$2$つの点で交わるような$p$の値の範囲を求めると$[イ]$である．
(2)$3$次の整式$F(x)$を考える．$F(x)$の$x^3$の項の係数は$1$であり，$xF(x)$を$x^2-3x+2$で割った余りは$2x$である．このとき，$F(2)$の値は$F(2)=[ウ]$であり，さらに，$F(-1)=2$であるとき，$F(-2)$の値は$F(-2)=[エ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$3$辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$2,\ 3,\ x$であるとする．このとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が最大になるような$x$の値を求めると$x=[オ]$である．また，$\angle \mathrm{ACB}$が最大になるような$x$の値を求めると$x=[カ]$である．
(4)$0<\alpha<\beta<\pi$のとき，座標平面上で，$2$点$\mathrm{A}(2 \cos \alpha,\ 2 \sin \alpha)$，$\mathrm{B}(2 \cos \alpha+\cos \beta,\ 2 \sin \alpha+\sin \beta)$と原点$\mathrm{O}$を頂点とする$\triangle \mathrm{OAB}$を考える．$\mathrm{B}$の座標が$(1,\ 1)$のとき，$\cos \angle \mathrm{AOB}$の値は$\cos \angle \mathrm{AOB}=[キ]$であり，$\cos \alpha$の値は$\cos \alpha=[ク]$である．

自然数$n,\ k$について，$xy$平面上で$0 \leqq y \leqq x$と$y \leqq 2n+k-x$で定まる領域を$C_k$とする．ある整数$a,\ b$に対して，$(a,\ b)$，$(a+k,\ b)$，$(a,\ b+k)$，$(a+k,\ b+k)$を頂点にもつ正方形を$1$辺が$k$の格子点の正方形と呼ぶ事にする．$C_k$に入る格子点の正方形を考える（$C_k$の境界も含める）．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$n=4$のとき，$C_k$内に$1$辺が$k$の格子点の正方形が存在するための，最大の$k$をもとめよ．
(2)$1$辺が$k$の格子点の正方形が，$C_k$内に存在するための$k$の条件を，$n$であらわせ．
(3)$C_k$内にある$1$辺が$k$の格子点の正方形の総数を$a_k$とするとき，$a_k$を$n$と$k$の式であらわせ．
(4)$a_1+a_2+\cdots +a_n$をもとめよ．

座標空間に$3$点$\mathrm{A}(4,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 1)$，$\mathrm{C}(a,\ b,\ 0)$がある．

(1)$\mathrm{AC}=\mathrm{BC}$のとき，$a,\ b$が満たす条件を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{ACB}$が$90^\circ$のとき，$a,\ b$が満たす条件を求めよ．また，その条件を満たしながら$a,\ b$の値が変わるとき，$xy$平面上での$\mathrm{C}$の軌跡を求めよ．
(3)$(1)$の条件と$(2)$の条件をともに満たす$\mathrm{C}$の座標を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$があり，
\[ 2 \overrightarrow{\mathrm{AP}}+3 \overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}},\quad 2 \overrightarrow{\mathrm{AQ}}+\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+k \overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \quad (k \text{は実数}) \]
を満たし，$\overrightarrow{\mathrm{PQ}} \para \overrightarrow{\mathrm{BC}}$であるとする．

(1)$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$\overrightarrow{p}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$k$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積が$1$のとき，$\triangle \mathrm{AQC}$の面積を求めよ．

座標平面上において，原点$\mathrm{O}$，点$\mathrm{A}(0,\ 1+\sqrt{3})$，点$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 2+\sqrt{3})$，点$\mathrm{C}(1+\sqrt{3},\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$を表す方程式と$\angle \mathrm{OAB}$の値を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{OAB}$の二等分線の方程式を求めよ．
(3)中心が第$1$象限にあり，直線$\mathrm{AB}$，$x$軸，$y$軸に接する円$P$の方程式を求めよ．
(4)傾きが正で，かつ点$\mathrm{C}$を通り，$(3)$で求めた円$P$と接する直線$\ell$の方程式を求めよ．

$xy$平面上に，$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 0)$，円$C:x^2+lx+y^2+my+n=0$（$l,\ m,\ n$は実数）があり，$C$が$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るとき，次の問に答えよ．

(1)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の中心の軌跡を求めよ．
(2)$m$がすべての実数値をとるとき，$C$の半径の最小値を求めよ．
(3)$C$が$y$軸と接するとき，$C$の方程式を求めよ．