$xy$平面上に曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x} \ (x>0)$がある．曲線$C$上の点P$\displaystyle \left( t,\ \frac{1}{t} \right)$における接線を$\ell$とし，原点Oから$\ell$に下ろした垂線をOHとするとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{1}{t^2}x+\frac{2}{t}$であることを示せ．
(2)点Hの座標は$\displaystyle \left( \frac{2t}{1+t^4},\ \frac{2t^3}{1+t^4} \right)$であることを示せ．
(3)直線$\ell$と$y$軸のなす角を$\displaystyle \theta \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とし，線分OHの長さを$d$とする．

\mon[(i)] $t^2,\ d^2$を$\theta$の式で表せ．
\mon[(ii)] $\displaystyle \lim_{\theta \to +0}\frac{d^2}{\theta}$を求めよ．

$xy$平面上の3点をO$(0,\ 0)$，A$(4,\ 0)$，B$(3,\ 3)$とする．2点O，Aを通る放物線を$y=-ax^2+bx$とする．ただし，$a>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$b$を$a$の式で表せ．
(2)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形が，$\triangle$OABに含まれるような，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$y=-ax^2+bx$と$x$軸とで囲まれた図形の面積が$\triangle$OABの面積の$\displaystyle \frac{1}{3}$となるとき，$a$の値を求めよ．

平面上に$\text{OA}=\text{OB}=1$である二等辺三角形OABがあり，線分ABを$2:1$に内分する点をC，$2:1$に外分する点をDとする．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ k=\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$とおくとき，以下の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}}$を求めよ．
(2)$\angle \text{AOB}=\angle \text{COD}$となるときの$k$の値$k_0$を求めよ．
(3)$\angle \text{APD}=90^\circ,\ \text{OP}=1$を満たす点Pに対し，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ k$を用いて表せ．

以下の設問に答えよ．

(1)初項$a$，公比$r$の無限等比級数は$|\,r\,|<1$のとき収束し，その和が$\displaystyle \frac{a}{1-r}$となることを示せ．
(2)座標平面上で，動点Pが点$(1,\ 1)$から$x$軸の負の向きに1だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3}$だけ進み，次に$x$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^2}$だけ進み，次に$y$軸の負の向きに$\displaystyle \frac{1}{3^3}$だけ進む．以下，動点Pがこのような運動を続けるとき，動点Pが限りなく近づく点の座標を求めよ．

平行六面体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{AD}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{N}$，辺$\mathrm{DG}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{L}$とする．また，辺$\mathrm{OC}$を$k:1-k \ (0<k<1)$に内分する点を$\mathrm{K}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{MN}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ML}}$，$\overrightarrow{\mathrm{MK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面上に点$\mathrm{L}$があるとき，$k$の値を求めよ．
(3)3点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$，$\mathrm{K}$の定める平面が辺$\mathrm{GF}$と交点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

（図は省略）

座標平面上で原点を中心とする角$\theta \ $(ラジアン)の回転移動を表す行列を$R(\theta)$とする．また，$\displaystyle 0<\theta<\pi \ \left( \theta \neq \frac{\pi}{2} \right)$となる$\theta$に対し，直線$y=(\tan \theta)x$に関する対称移動を表す行列を$A(\theta)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)行列$X=R(\theta)^{-1}A(\theta)R(\theta)$を求めよ．また，$s$に対して$XR(s)X=R(t)$を満たす$t$を求めよ．ただし，$R(\theta)^{-1}$は$R(\theta)$の逆行列である．
(2)$\displaystyle 0<\alpha<\pi,\ 0<\beta<\pi \ \left( \alpha,\ \beta \neq \frac{\pi}{2} \right)$のとき，$A(\alpha) A(\beta)$を求めよ．
(3)$\displaystyle 0<\beta<\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$のとき，$A(\alpha)A(\beta)=A(\beta)A(\alpha)$となるための必要十分条件を$\alpha,\ \beta$を用いて表せ．
(4)$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2},\ 0<\beta<\frac{\pi}{2}$で，点$(\tan \alpha,\ \tan \beta)$が曲線$\displaystyle y=\frac{3x-1}{x+3}$上にあるとき，次の\maru{1}，\maru{2}に答えよ．

\mon[\maru{1}] $\tan (\alpha-\beta)$の値を求めよ．
\mon[\maru{2}] $A(\alpha)A(\beta)$を求めよ．

関数$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{
\begin{array}{l}
-x^2+4x \quad (x \leqq 0,\ x \geqq 2 \text{のとき}) \\
x^2 \qquad\qquad\;\! (0<x<2 \text{のとき})
\end{array}
\right. \]
とする．座標平面上の曲線$C:y=f(x)$と直線$\ell:y=x$で囲まれる部分の面積を$S$とする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)曲線$C$の概形をかけ．
(2)$S$の値を求めよ．

座標平面上の円$x^2+y^2=1$を$C$とする．点Pが行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{array} \biggr)$で表される1次変換で点Qに移されるとき，次の問に答えよ．

(1)点Pが円$C$上を動くとき，点Qの軌跡を求め，図示せよ．
(2)(1)で求めた曲線で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

座標平面上において，点A$(0,\ 1)$を中心とし原点Oを通る円$C_1$について，点B$(0,\ -1)$から引いた2本の接線の接点をP，Qとする．ただし，点Pの$x$座標は正とする．さらに，$y$軸に関して対称な放物線$C_2$が直線BPと直線BQにそれぞれ点Pと点Qで接するものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)2点P，Qの座標を求めよ．
(2)放物線$C_2$を表す方程式を求めよ．
(3)点Aから放物線$C_2$上の各点までの距離は1以上であることを示せ．
(4)円$C_1$の原点Oを含む弧PQと放物線$C_2$で囲まれる部分の面積$S$を求めよ．

座標平面上に点A$(2,\ 0)$をとる．円$C:x^2+y^2=1$上の任意の点P$(\cos \theta,\ \sin \theta) \ (0 \leqq \theta < 2\pi)$における接線を$\ell$とする．直線$\ell$上に点Qを直線AQと$\ell$が直交するようにとる．ただし，直線$\ell$が点Aを通るときは，点Qは点Aであるとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)点Qの座標を，$\theta$を用いて表せ．
(2)線分PQを，点Pが原点Oに一致するように平行移動したとき，点Qが移動した点をR$(\theta)$とする．ただし，点Pと点Qが一致するときは，点R$(\theta)$は原点とする．このとき，点R$(\theta)$の軌跡は円になることを示し，その中心の座標と半径を求めよ．