平面内の2つの単位ベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$に対して
\[ \overrightarrow{v} = \frac{1}{2 \sin \frac{\theta}{2}} (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \]
とおく．ただし，$\theta$は$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角であり，$0<\theta<\pi$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$と$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{v}$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{x}$を，$\overrightarrow{a}$に垂直で，$\overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{b}>0$をみたす単位ベクトルとする．このとき$\overrightarrow{x}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{v}$を用いて表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{6}$のとき，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{v}$の値を求めよ．

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に，点Pがある．ただし，Pは第1象限の点である．点Pから$x$軸に下ろした垂線と$x$軸との交点をQ，線分PQを$2:1$に内分する点をRとする．$\theta=\angle \text{QOP}$のときの$\tan \angle \text{QOR}$と$\tan \angle \text{ROP}$の値をそれぞれ$f(\theta),\ g(\theta)$とおく．以下の問いに答えよ．

(1)$f(\theta)$と$g(\theta)$を$\theta$を用いて表せ．
(2)$g(\theta)$の$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$における最大値と，そのときの$\theta$の値を求めよ．

座標平面上の点$(1,\ 0)$をAとする．原点O$(0,\ 0)$を中心とし半径が1の円周上の2点P，Qは，$\displaystyle \angle \text{AOP}=\theta,\ \angle \text{AOQ}=\theta+\frac{\pi}{3},\ 0<\theta<\frac{2\pi}{3}$を満たす．また，点Pから$x$軸に引いた垂線と$x$軸の交点をBとし，点Cを四角形BPQCが平行四辺形になるように定める．ただし，点P，Qの$y$座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)点Cの座標を$\theta$を用いて表せ．
(2)四角形BPQCの面積の最大値を求めよ．また，そのときの$\theta$の値を求めよ．

$xy$平面上の円$C_1:x^2+y^2+ax+by+28=0$は，点$\mathrm{A}(2,\ 8)$と点$\mathrm{B}(7,\ 7)$を通る．このとき，次の問いに答えよ．

(1)円$C_1$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)円$C_1$上の点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$における接線をそれぞれ$\ell,\ m$とするとき，$2$直線$\ell,\ m$の交点の座標を求めよ．
(3)$x$の$2$次関数のグラフ$C_2$は$(2)$で求めた交点を頂点とし，点$\mathrm{A}$を通る．このとき$C_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．

$a,\ b$は実数で$a<b$をみたすものとする．$f(x)=2x^3-3(a+b)x^2+6abx$とする．以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)$x$についての3次方程式$f(x)=0$が異なる3つの実数解をもつとき$a,\ b$のとり得る値の範囲を求め，$ab$平面上に図示せよ．

平面上に$\triangle$ABCと点Pがある．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点Pが$\triangle$ABCの周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \text{PAB}:\triangle \text{PBC}:\triangle \text{PCA}$を求めよ．

平面上に$\triangle \mathrm{ABC}$と点$\mathrm{P}$がある．次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=k\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\ell \overrightarrow{\mathrm{AC}}$とする．点$\mathrm{P}$が$\triangle \mathrm{ABC}$の周および内部にあるための条件を，$k,\ \ell$を用いて表せ．
(2)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，(1)の$k,\ \ell$の値を求めよ．
(3)$5\overrightarrow{\mathrm{AP}}+11\overrightarrow{\mathrm{CP}}=2\overrightarrow{\mathrm{CB}}$が成り立つとき，面積比$\triangle \mathrm{PAB}:\triangle \mathrm{PBC}:\triangle \mathrm{PCA}$を求めよ．

1辺の長さが1の正四面体OABCにおいて，3辺OA，OB，AC上にそれぞれ点D，E，Fを$\displaystyle \text{OD}=\frac{1}{2},\ \text{OE}=t \ (0<t<1),\ \text{AF}=\frac{2}{3}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{DE}},\ \overrightarrow{\mathrm{DF}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{DE}} \perp \overrightarrow{\mathrm{DF}}$のとき，$t$の値を求めよ．
(3)3点D，E，Fが定める平面が直線BCと交わる点をGとするとき，線分BGの長さを$t$を用いて表せ．

$p,\ q$を定数とし，$p$は$0$でないとする．$2$つの放物線$y=4x^2+3px+5q$と$y=3x^2+2px+4q$が，異なる$2$点$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{MN}$の傾きを$p$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{OM}=\mathrm{ON}$となるとき，$q$を$p$の式で表せ．ただし，$\mathrm{O}$は座標平面の原点を表す．

$x$と$y$は不等式
\[ \log_x2-(\log_2y)(\log_xy) < 4(\log_2x-\log_2y) \]
を満たすとする．このとき，$x,\ y$の組$(x,\ y)$の範囲を座標平面上に図示せよ．