「平面」について
タグ「平面」の検索結果
（147ページ目：全1904問中1461問～1470問を表示）
国立 横浜国立大学 2011年 第4問$xy$平面上の2曲線$\displaystyle C_1 : y = \frac{\log x}{x}$と$C_2 : y = ax^2$は点Pを共有し，Pにおいて共通の接線をもっている．ただし，$a$は定数とする．次の問いに答えよ．
(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(1)関数$\displaystyle y = \frac{\log x}{x}$の増減，凹凸，変曲点を調べ，$C_1$の概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x}=0$は証明なしに用いてよい．
(2)Pの座標および$a$の値を求めよ．
(3)不定積分$\displaystyle \int \left( \frac{\log x}{x} \right)^2 \, dx$を求めよ．
(4)$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれる部分を，$x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 横浜国立大学 2011年 第5問$xy$平面上に直線$\ell$がある．行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す1次変換$f$は，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．
\mon[(i)] 平面の点の$f$による像はすべて$\ell$上にある．
\mon[(ii)] $f$は$\ell$の点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)] 点Pが円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$によるPの像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}$，最小値$1-\sqrt{5}$をとる．
次の問いに答えよ．
(1)$A$を求めよ．また$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(iii)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときのPの座標を求めよ．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$の表す1次変換$f$は，次の(i)，(ii)，(iii)を満たす．
\mon[(i)] 平面の点の$f$による像はすべて$\ell$上にある．
\mon[(ii)] $f$は$\ell$の点をすべて原点に移す．
\mon[(iii)] 点Pが円$x^2-2x+y^2-2y+1=0$上を動くとき，$f$によるPの像の$x$座標は最大値$1+\sqrt{5}$，最小値$1-\sqrt{5}$をとる．
次の問いに答えよ．
(1)$A$を求めよ．また$\ell$の方程式を求めよ．
(2)(iii)で最大値$1+\sqrt{5}$をとるときのPの座標を求めよ．
国立 名古屋大学 2011年 第3問$xy$平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(1,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．
(1)$a>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}=1:a$を満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)$a>0,\ b>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}:\text{BP}=1:a:b$を満たす点Pが存在するための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．
(1)$a>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}=1:a$を満たす点Pの軌跡を求めよ．
(2)$a>0,\ b>0$とする．$\text{OP}:\text{AP}:\text{BP}=1:a:b$を満たす点Pが存在するための$a,\ b$に対する条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．
国立 千葉大学 2011年 第5問$a$は正の実数とし，座標平面上の直線$\ell: y = x$と放物線$C : y = ax^2$を考える．$C$上の点$\displaystyle (x,\ y) \ \bigl( \text{ただし} 0 < x < \frac{1}{a} \bigr)$で$\ell$との距離を最大にする点を$\mathrm{P}(s,\ t)$とおく．また$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を $d$とおく．以下の問いに答えよ．
(1)$d,\ s,\ t$をそれぞれ$a$の式で表せ．また点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線の傾きを求めよ．
(2)実数$a$を$a > 0$の範囲で動かしたとき，点$\mathrm{P}(s,\ t)$の軌跡を求め，図示せよ．
(1)$d,\ s,\ t$をそれぞれ$a$の式で表せ．また点$\mathrm{P}$での放物線$C$の接線の傾きを求めよ．
(2)実数$a$を$a > 0$の範囲で動かしたとき，点$\mathrm{P}(s,\ t)$の軌跡を求め，図示せよ．
国立 筑波大学 2011年 第1問Oを原点とする$xy$平面において，直線$y = 1$の$| \, x \, | \geqq 1$を満たす部分を$C$とする．
(1)$C$上に点A$(t,\ 1)$をとるとき，線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ．
(2)点Aが$C$全体を動くとき，線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．
(1)$C$上に点A$(t,\ 1)$をとるとき，線分OAの垂直二等分線の方程式を求めよ．
(2)点Aが$C$全体を動くとき，線分OAの垂直二等分線が通過する範囲を求め，それを図示せよ．
国立 千葉大学 2011年 第9問$r$は$0<r<1$を満たす実数とする．座標平面上に1辺の長さが$r^n$の正方形$R_n \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$があり，その頂点を反時計回りに$\mathrm{A}_n$，$\mathrm{B}_n$，$\mathrm{C}_n$，$\mathrm{D}_n$とする．さらに$R_n$は次の条件$(ⅰ),\ (ⅱ)$を満たすとする．
(i) 正方形$R_0$の頂点は$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{B}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{C}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{D}_0(0,\ 1)$である．
(ii) $\mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{C}_n$で，点$\mathrm{D}_{n+1}$は辺$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$上にある．
このとき以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \mathrm{A}_4$の座標を$r$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{A}_{4n}$の座標を$(x_n,\ y_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$x_{n+1}-x_n$および$y_{n+1}-y_n$を$r,\ n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を$r$を用いて表せ．
(i) 正方形$R_0$の頂点は$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$，$\mathrm{B}_0(1,\ 0)$，$\mathrm{C}_0(1,\ 1)$，$\mathrm{D}_0(0,\ 1)$である．
(ii) $\mathrm{A}_{n+1}=\mathrm{C}_n$で，点$\mathrm{D}_{n+1}$は辺$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$上にある．
このとき以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \mathrm{A}_4$の座標を$r$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{A}_{4n}$の座標を$(x_n,\ y_n) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$x_{n+1}-x_n$および$y_{n+1}-y_n$を$r,\ n$の式で表せ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n$を$r$を用いて表せ．
国立 筑波大学 2011年 第3問$a$を$\displaystyle 0 < \alpha <\frac{\pi}{2}$を満たす定数とする．円$C : x^2 + (y+ \sin \alpha)^2 = 1$および，その中心を通る直線$\ell :y= (\tan \alpha) x - \sin \alpha$を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
(1)直線$\ell$と円$C$の2つの交点の座標を$\alpha$を用いて表せ．
(2)等式
\[ 2\int_{\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx+ \int_{-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{2} \]
が成り立つことを示せ．
(3)連立方程式
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y \leqq (\tan \alpha)x-\sin \alpha \\
x^2+(y+\sin \alpha)^2 \leqq 1
\end{array}
\right. \]
の表す$xy$平面上の図形を$D$とする．図形$D$を$x$軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．
国立 信州大学 2011年 第2問座標平面上で$\overrightarrow{a}$を単位ベクトルとし，任意のベクトル$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$に対して，ベクトル$\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}$を次のように定める．
\[ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{x} +2( \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} ) \overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{y} +2(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a} \]
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} \]
(2)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} | = | \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} | \]
\[ \overrightarrow{u} = -\overrightarrow{x} +2( \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} ) \overrightarrow{a},\quad \overrightarrow{v} = -\overrightarrow{y} +2(\overrightarrow{y} \cdot \overrightarrow{a}) \overrightarrow{a} \]
(1)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{a} = \overrightarrow{x} \cdot \overrightarrow{a} \]
(2)次の等式が成り立つことを示しなさい．
\[ | \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} | = | \overrightarrow{x} - \overrightarrow{y} | \]
国立 東京大学 2011年 第4問座標平面上の1点P$\displaystyle \left(\frac{1}{2},\ \frac{1}{4} \right)$をとる．放物線$y=x^2$上の2点Q$(\alpha,\ \alpha^2)$，R$(\beta,\ \beta^2)$を，3点P，Q，RがQRを底辺とする二等辺三角形をなすように動かすとき，$\triangle \text{PQR}$の重心G$(X,\ Y)$の軌跡を求めよ．
国立 筑波大学 2011年 第5問実数を成分とする行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．座標平面上の2点P$(x,\ y)$，Q$(u,\ v)$について等式
\[ \biggl( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，行列$A$により点Pは点Qに移るという． \\
\quad 点$(1,\ 3)$は行列$A$により点$(10,\ 10)$に移り，さらに等式
\[ A^2-7A+10E=O \]
が成り立つものとする．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)行列$A$により点$(10,\ 10)$が移る点の座標を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)次の条件$(*)$を満たす直線$\ell$の方程式を求めよ． \\
$(*)$ \ 直線$\ell$上のすべての点が行列$A$により$\ell$上の点に移る．
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$を考える．座標平面上の2点P$(x,\ y)$，Q$(u,\ v)$について等式
\[ \biggl( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \biggr) = A \biggl( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \biggr) \]
が成り立つとき，行列$A$により点Pは点Qに移るという． \\
\quad 点$(1,\ 3)$は行列$A$により点$(10,\ 10)$に移り，さらに等式
\[ A^2-7A+10E=O \]
が成り立つものとする．ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)行列$A$により点$(10,\ 10)$が移る点の座標を求めよ．
(2)実数$a,\ b,\ c,\ d$の値を求めよ．
(3)次の条件$(*)$を満たす直線$\ell$の方程式を求めよ． \\
$(*)$ \ 直線$\ell$上のすべての点が行列$A$により$\ell$上の点に移る．