実数$\theta$が動くとき，$xy$平面上の動点P$(0,\ \sin \theta)$およびQ$(8 \cos \theta,\ 0)$を考える．$\theta$が$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，平面内で線分PQが通過する部分を$D$とする．$D$を $x$軸のまわりに1回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

平面上の異なる$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にないものとする．この平面上の点$\mathrm{P}$が
\[ 2|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|^2 - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} + 2 \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OP}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = 0 \]
を満たすとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の軌跡が円となることを示せ．
(2)$(1)$の円の中心を$\mathrm{C}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$で表せ．
(3)$\mathrm{O}$との距離が最小となる$(1)$の円周上の点を$\mathrm{P}_0$とする．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$が条件
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2+5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}+4|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 = 0 \]
を満たすとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP_0}} = s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}}$となる$s,\ t$の値を求めよ．

$a$を自然数とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上で行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -1 \\
1 & a
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．

(1)$r>0$および$0 \leqq \theta < 2\pi$を用いて$A=\left( \begin{array}{cc}
r \cos \theta & -r \sin \theta \\
r \sin \theta & r \cos \theta
\end{array} \right)$と表すとき，$r,\ \cos \theta,\ \sin \theta$を$a$で表せ．
(2)点$\mathrm{Q}(1,\ 0)$に対し，点$\mathrm{Q}_n (n = 1,\ 2,\ 3)$を
\[ \mathrm{Q}_1 = \mathrm{Q},\quad \mathrm{Q}_{n+1} = f(\mathrm{Q}_n) \]
で定める．$\triangle \mathrm{OQ}_n \mathrm{Q}_{n+1}$の面積$S(n)$を$a$と$n$を用いて表せ．
(3)$f$によって点$(2,\ 7)$に移されるもとの点$\mathrm{P}$の$x$座標の小数第一位を四捨五入して得られる近似値が$2$であるという．自然数$a$の値を求めよ．またこのとき$S(n)>{10}^{10}$となる最小の$n$の値を求めよ．ただし$0.3 < \log_{10}2 < 0.31$を用いてよい．

実数の組$(p,\ q)$に対し，$f(x) = (x-p)^2 +q$とおく．

(1)放物線$y = f(x)$が点$(0,\ 1)$を通り，しかも直線$y = x$の$x > 0$の部分と接するような実数の組$(p,\ q)$と接点の座標を求めよ．
(2)実数の組$(p_1,\ q_1)$，$(p_2,\ q_2)$に対して，$f_1(x) = (x-p_1)^2 + q_1$および$f_2(x) =(x-p_2)^2 +q_2$とおく．実数$\alpha,\ \beta \ $(ただし$\alpha < \beta$)に対して
\[ f_1(\alpha) < f_2(\alpha) \quad \text{かつ} \quad f_1(\beta) < f_2(\beta) \]
であるならば，区間$\alpha \leqq x \leqq \beta$において不等式$f_1(x) < f_2(x)$がつねに成り立つことを示せ．
(3)長方形$R : 0 \leqq x \leqq 1,\ 0 \leqq y \leqq 2$を考える．また，4点P$_0(0,\ 1)$，P$_1(0,\ 0)$，P$_2(1,\ 1)$，P$_3(1,\ 0)$をこの順に線分で結んで得られる折れ線を$L$とする．実数の組$(p,\ q)$を，放物線$y = f(x)$と折れ線$L$に共有点がないようなすべての組にわたって動かすとき，$R$の点のうちで放物線$y = f(x)$が通過する点全体の集合を$T$とする．$R$から$T$を除いた領域$S$を座標平面上に図示し，その面積を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(2 \cos \theta,\ 2 \sin \theta)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( \frac{4}{3},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(\cos \theta,\ -\sin \theta)$がある．ただし，$0 < \theta < \pi$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AC}$と$x$軸の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{P}$の座標を$\theta$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積$S(\theta)$を求めよ．
(3)面積$S(\theta)$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

$a$を1より大きい定数とする．$xy$平面上の点$(a \cos t,\ \sqrt{a^2-1} \sin t)$と直線$x+y = \sqrt{3}a$の距離を$f(t)$とおく．$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を$m$とする．

(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．

$a$を$1$より大きい定数とする．$xy$平面上の点$(a \cos t,\ \sqrt{a^2-1} \sin t)$と直線$x+y = \sqrt{3}a$の距離を$f(t)$とおく．$t$が$0 \leqq t \leqq 2\pi$の範囲を動くときの$f(t)$の最小値を$m$とする．

(1)$m$を$a$の関数として表せ．
(2)(1)で求めた$a$の関数$m$の最小値を求めよ．

座標平面上に点P$(0,\ 0)$，M$(\sqrt{3},\ 1)$をとる．点Mを中心とし，$x$軸に接するように円を描き，接点をAとおく．Pより円にもう1本の接線を引き接点をBとする．円に2線分PAとPBをつけ加えた図形を$x$軸に接したまますべることなく$x$軸の正の方向にころがし，線分PBが$x$軸に重なるまで移動させる．次の問いに答えよ．

(1)移動中の円の中心の座標を$(\sqrt{3}+t,\ 1)$とする．$t$の取りうる値の範囲を求めよ．
(2)点Pの軌跡を$C$とする．曲線$C$の接線$\ell$の傾きが$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)曲線$C$と(2)で求めた接線$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

実数 $a,\ b$に対して，$2$次正方行列$A$と列ベクトル$B$を
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & 2-a \\
1+a & 2
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{c}
2b \\
b
\end{array} \right) \]
と定め，$E =\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$とする．等式
\[ \left( \begin{array}{c}
x^\prime \\
y^\prime
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)+B \]
により，座標平面上の点P$(x,\ y)$に対し点P$^\prime (x^\prime,\ y^\prime)$が定まるものとする．次の問いに答えよ．

(1)$a = b = -1$のとき，点P$^\prime (3,\ 2)$となる点P$(x,\ y)$を求めよ．
(2)$A^2 = kE \ (k \text{は実数})$を満たすとき，$a,\ k$の値を求めよ．
(3)どんな点Pに対しても点P$^\prime$が原点Oに一致しないための$a,\ b$の条件を求めよ．

平面上で，線分ABを$1:2$に内分する点をOとし，Oを中心とする半径OBの円を$S$，円$S$と直線ABとの交点のうち点Bと異なる方をCとする．点Pは円$S$の内部にあり，線分BC上にないものとする．円$S$と直線PBとの交点のうち点Bと異なる方をQとする．$\overrightarrow{\mathrm{PA}} =\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{PB}} =\overrightarrow{b},\ \angle \text{APB} = \theta$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PO}},\ \overrightarrow{\mathrm{PC}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$で表せ．
(2)点Pが円$S$の内部にあることを用いて，$\displaystyle \cos \theta < \frac{|\overrightarrow{b}|}{4|\overrightarrow{a}|}$を証明せよ．
(3)PQの長さを$|\overrightarrow{a}|,\ |\overrightarrow{b}|,\ \theta$で表せ．
(4)$\text{PA}=3,\ \text{PB}=2$とする．$\triangle \text{QAB} = 3 \triangle \text{POB}$を満たすとき，$\triangle$PABの面積を求めよ．