平面上で四角形$\mathrm{ABCD}$は円に内接し，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)$，$\mathrm{AD}=\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)$，$\angle \mathrm{ADB}={45}^\circ$であるとする．以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{BD}$を求めよ．
(2)$\mathrm{BC}$を求めよ．
(3)$\angle \mathrm{BCD}$を求めよ．
(4)$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とするとき$\mathrm{BE}$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内に$2$点$\mathrm{A}(5,\ 3,\ -3)$，$\mathrm{B}(4,\ 2,\ -1)$をとる．中心が$\mathrm{C}(5,\ 2,\ -2)$，半径が$r$の球面を$S$とし，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\ell$と$S$が平面$z=1$で交点$\mathrm{D}$をもつ．以下の問いに答えよ．

(1)$r$の値を求めよ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=s \overrightarrow{\mathrm{CA}}+t \overrightarrow{\mathrm{CB}}$となる実数$s,\ t$の値を求めよ．
(3)垂線$\mathrm{OH}$の長さを求めよ．
(4)$\triangle \mathrm{ACD}$の面積を求めよ．

$a$を実数とする．$xy$平面上に，曲線$\displaystyle C_1:\frac{x^2}{4}+y^2=1$，曲線$\displaystyle C_2:y=\frac{x^2}{2}+a$，次の連立不等式の表す領域$D$がある．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\displaystyle\frac{x^2}{4}+y^2 \leqq 1 \\
y \geqq \displaystyle\frac{x^2}{2}-1
\end{array} \right. \]
以下の問いに答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$が共有点をもつとき，$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$C_1$と$C_2$の共有点の個数を，$a$の値によって分類せよ．
(3)$D$の面積を求めよ．

空間に$2$点$\displaystyle \mathrm{A} \left( 0,\ 0,\ \frac{3}{2} \right)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ 2)$と，$xy$平面上を動く点$\mathrm{P}(s,\ t,\ 0)$がある．また，線分$\mathrm{BP}$を$u:(1-u)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$s$と$t$は実数であり，$0<u<1$である．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を$u,\ s,\ t$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$を満たす$u$を$s$と$t$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{Q}$が$yz$平面に平行な平面$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{4}$上にあり，かつ$|\overrightarrow{\mathrm{AQ}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$が成り立つとき，点$\mathrm{P}$は必ずある円$C$の上にある．円$C$の中心の座標と半径を求めよ．

$a,\ b,\ c$を実数とし，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上において，行列$\left(
\begin{array}{ccc}
a & 1 \\
b & c
\end{array}
\right)$に
よって表される$1$次変換を$T$とする．この$1$次変換$T$が$2$つの条件

(1)点$(1,\ 2)$を点$(1,\ 2)$に移す
(2)点$(1,\ 0)$と点$(0,\ 1)$が$T$によって点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$にそれぞれ移るとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積が$\displaystyle\frac{1}{2}$である

を満たすとき，$a,\ b,\ c$を求めよ．

$xy$平面上で，$y=x$のグラフと$\displaystyle y=|\displaystyle\frac{3|{4}x^2-3}-2$のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

$xyz$空間で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$\sqrt{6}$の球面$S$と$3$点$(4,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 4,\ 0)$，$(0,\ 0,\ 4)$を通る平面$\alpha$が共有点を持つことを示し，点$(x,\ y,\ z)$がその共有点全体の集合を動くとき，積$xyz$が取り得る値の範囲を求めよ．

四面体$\mathrm{OABC}$において．点$\mathrm{O}$から$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面に下ろした垂線とその平面の交点を$\mathrm{H}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}\perp \overrightarrow{\mathrm{OC}}, |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2, |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3, |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\sqrt{7}$のとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OH}}|$を求めよ．

$xy$平面上に放物線$C:y=-3x^2+3$と2点A$(1,\ 0)$，P$(0,\ 3p)$がある．線分APと$C$は，Aとは異なる点Qを共有している．

(1)定数$p$の存在する範囲を求めよ．
(2)$S_1$を，$C$と線分AQで囲まれた領域とし，$S_2$を，$C$，線分QP，および$y$軸とで囲まれた領域とする．$S_1$と$S_2$の面積の和が最小となる$p$の値を求めよ．

$xy$平面上で，連立不等式
\[\left\{
\begin{array}{l}
|x| \leqq 2 \\
y \geqq x \\
y \leqq |\ \displaystyle\frac{3}{4}x^2-3\ |-2
\end{array}
\right.
\]
を満たす領域の面積を求めよ．