「平面」について
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公立 滋賀県立大学 2012年 第3問直方体$\mathrm{OADB}$-$\mathrm{CEGF}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，直線$\mathrm{OG}$と平面$\mathrm{DEF}$の交点を$\mathrm{P}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は直交することを示せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(3)$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|=1$としたとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は直交することを示せ．
公立 兵庫県立大学 2012年 第4問$xy$平面上の点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$，$\mathrm{P}(x,\ y)$に対して，ベクトル$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を各々$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と定める．次の問に答えなさい．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$x,\ y$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}\sqrt{(x+1)^2+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を図示しなさい．
(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$を$x,\ y$を用いて表しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{x^2+y^2-1}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}\sqrt{(x+1)^2+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$を満たす点$(x,\ y)$全体の集合を図示しなさい．
公立 兵庫県立大学 2012年 第5問$xy$平面上の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ b)$，および，$\mathrm{C}(a,\ b)$ \\
$(0<a<b)$を頂点とする長方形$\mathrm{OACB}$と，辺$\mathrm{OA}$上の定点 \\
$\mathrm{S}(s,\ 0) (0<s<a)$を考える．次の問に答えなさい．
\img{562_2720_2012_1}{25}
(1)辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{CB}$，$\mathrm{BO}$上に各々点$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を適切にとれば，四角形 \\
$\mathrm{STUV}$は長方形となる．このとき，$\mathrm{AT}=t$として，$t$が満たすべ \\
き条件を$a,\ b,\ s,\ t$を用いて表しなさい．また，定点$\mathrm{S}$に対して， \\
長方形$\mathrm{OACB}$に内接するこのような長方形$\mathrm{STUV}$は$2$つ存在することを示しなさい．
(2)(1)で考えた$2$つの内接する長方形の面積の和は長方形$\mathrm{OACB}$の面積に等しいことを証明しなさい．
$(0<a<b)$を頂点とする長方形$\mathrm{OACB}$と，辺$\mathrm{OA}$上の定点 \\
$\mathrm{S}(s,\ 0) (0<s<a)$を考える．次の問に答えなさい．
\img{562_2720_2012_1}{25}
(1)辺$\mathrm{AC}$，$\mathrm{CB}$，$\mathrm{BO}$上に各々点$\mathrm{T}$，$\mathrm{U}$，$\mathrm{V}$を適切にとれば，四角形 \\
$\mathrm{STUV}$は長方形となる．このとき，$\mathrm{AT}=t$として，$t$が満たすべ \\
き条件を$a,\ b,\ s,\ t$を用いて表しなさい．また，定点$\mathrm{S}$に対して， \\
長方形$\mathrm{OACB}$に内接するこのような長方形$\mathrm{STUV}$は$2$つ存在することを示しなさい．
(2)(1)で考えた$2$つの内接する長方形の面積の和は長方形$\mathrm{OACB}$の面積に等しいことを証明しなさい．
公立 名古屋市立大学 2012年 第2問座標空間における点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2 \sqrt{2},\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(2 \sqrt{2},\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{D}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{E}(2 \sqrt{2},\ 0,\ 1)$，$\mathrm{F}(2 \sqrt{2},\ 1,\ 1)$，$\mathrm{G}(0,\ 1,\ 1)$を頂点とする直方体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$について，直線$\mathrm{FG}$上の点を$\mathrm{P}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{FG}$の中点であるとき，$\angle \mathrm{OPA}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$と原点$\mathrm{O}$との距離$d$を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$m$と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$\theta=15^\circ$，$\theta=30^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{FG}$の中点であるとき，$\angle \mathrm{OPA}$を求めよ．
(2)点$\mathrm{G}$と点$\mathrm{A}$を通る直線$\ell$と原点$\mathrm{O}$との距離$d$を求めよ．
(3)点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}$を通る直線$m$と$xy$平面のなす角を$\theta$とするとき，$\theta=15^\circ$，$\theta=30^\circ$を満たす点$\mathrm{P}$の座標をそれぞれ求めよ．
公立 名古屋市立大学 2012年 第1問直線$\ell:y=-2x \log_2 a$と放物線$C:y=x^2+b^2$がある．ただし$a>0$とする．次の問いに答えよ．
(1)$b=\log_35$とする．$C$と$\ell$が接するとき，$a$の値を求め，$a<3$であることを示せ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a,\ b$の満たす条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．
(1)$b=\log_35$とする．$C$と$\ell$が接するとき，$a$の値を求め，$a<3$であることを示せ．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点で交わるとき，$a,\ b$の満たす条件を求め，$ab$平面上に図示せよ．
公立 名古屋市立大学 2012年 第3問$2$つのベクトルを$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 3)$とおく．平面上の任意のベクトル$\overrightarrow{w}=(x,\ y)$を$\overrightarrow{w}=k \overrightarrow{a}+l \overrightarrow{b}$と表すとき，次の問いに答えよ．
(1)$k,\ l$を$x,\ y$で表せ．
(2)$(1)$の$k,\ l$に対して，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき，$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列$PQ$，$QP$，$P^2$，$Q^2$を求めよ．
(4)行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき，自然数$n$に対して$R^n$を類推し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．ただし，$s,\ t$は実数とする．
(1)$k,\ l$を$x,\ y$で表せ．
(2)$(1)$の$k,\ l$に対して，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{U}(k \overrightarrow{a})$へ移す変換を$f$，点$\mathrm{W}(\overrightarrow{w})$を点$\mathrm{V}(l \overrightarrow{b})$へ移す変換を$g$とするとき，$2$つの変換$f,\ g$を表す行列$P,\ Q$を求めよ．
(3)行列$PQ$，$QP$，$P^2$，$Q^2$を求めよ．
(4)行列$R$が$R=sP+tQ$と表されるとき，自然数$n$に対して$R^n$を類推し，それが正しいことを数学的帰納法で証明せよ．ただし，$s,\ t$は実数とする．
公立 名古屋市立大学 2012年 第4問$xy$平面上において，原点$\mathrm{O}$を中心とする正六角形$\mathrm{ABCDEF}$の$3$つの頂点の座標が，$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(\sqrt{3},\ 1)$，$\mathrm{C}(\sqrt{3},\ -1)$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．
(1)辺$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{L}$，線分$\mathrm{AL}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{FM}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{FM}:\mathrm{MN}$，$\mathrm{BN}:\mathrm{NC}$の比の値をそれぞれ求めよ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{FP}}|=|\overrightarrow{\mathrm{BF}}|$を満たす点$\mathrm{P}$の描く図形の方程式を求めよ．
(3)$\mathrm{BF}$上の点$\mathrm{Q}(q,\ 1)$が$-\sqrt{3} \leqq q \leqq \sqrt{3}$を満たす任意の点であるとき，$\triangle \mathrm{QCE}$の垂心$\mathrm{H}$の描く図形の方程式を求めよ．
公立 宮城大学 2012年 第3問次の空欄$[ハ]$から$[マ]$にあてはまる数や式を書きなさい．
$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点
\[ \mathrm{A} \left( \frac{1}{a},\ 0,\ 0 \right),\quad \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{b},\ 0 \right),\quad \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{c} \right) \]
$(a,\ b,\ c>0)$をとる．平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+u \overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$t,\ u$は定数）とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ハ],\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ヒ] \]
となる．
したがって，$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( [フ],\ [ヘ],\ [ホ] \right) \]
となる．また，このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[マ]$となる．
$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点
\[ \mathrm{A} \left( \frac{1}{a},\ 0,\ 0 \right),\quad \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{b},\ 0 \right),\quad \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{c} \right) \]
$(a,\ b,\ c>0)$をとる．平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+u \overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$t,\ u$は定数）とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ハ],\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ヒ] \]
となる．
したがって，$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( [フ],\ [ヘ],\ [ホ] \right) \]
となる．また，このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[マ]$となる．
公立 岐阜薬科大学 2012年 第2問$xy$平面上の点$\mathrm{P}_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は放物線$y=x^2$上にあり，直線$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の傾きは$\displaystyle \frac{1}{n(n+2)}$である．点$\mathrm{P}_n$の$x$座標を$x_n$とし，点$\mathrm{P}_1$が原点$\mathrm{O}$であるとき，次の問いに答えよ．
(1)$x_{n+1}+x_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle y_n=x_n-\frac{1}{2n(n+1)}$とおくとき，数列$\{y_n\}$は等比数列であることを示せ．
(3)$x_n$を求めよ．
(1)$x_{n+1}+x_n$を$n$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle y_n=x_n-\frac{1}{2n(n+1)}$とおくとき，数列$\{y_n\}$は等比数列であることを示せ．
(3)$x_n$を求めよ．
公立 横浜市立大学 2012年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)$a$を正の定数として，関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく．$f(x)$を微分して，多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $
$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき，数列$\{a_n\}$において，$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か．ただし，$\displaystyle \frac{q}{p}$は，例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ．
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ．
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の長さが$1$，$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ．
（図は省略）
(1)$a$を正の定数として，関数$f(x)$を$f(x)=\log (\sqrt{a^2+x^2}-x)$とおく．$f(x)$を微分して，多項式
\[ f(0)+f^\prime(0)x+\frac{f^{\prime\prime}(0)}{2!}x^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}(0)}{3!}x^3 \]
を求めよ．
(2)座標平面において，曲線$\displaystyle C:y=\sin x \left( 0<x<\frac{\pi}{2} \right)$上の点$\mathrm{P}(a,\ \sin a)$における$C$の法線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{PQ}$を直径とする円が，$x$軸と交わる$\mathrm{Q}$以外の点を$\mathrm{R}$とする．このとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S(a)$を求めよ．次に，$a$が動くとき，$S(a)$の最大値を求めよ．
（図は省略）
(3)数列$\{a_n\}$
\[ 1,\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots \]
を次のような群に分け，第$m$群には$m$個の数が入るようにする．
$\displaystyle \sitabrace{\frac{1}{1}}_{第1群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{2},\ \frac{2}{1}}_{第2群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{3},\ \frac{2}{2},\ \frac{3}{1}}_{第3群} \ \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{4},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{4}{1}}_{第4群} \ \bigg| \ ,\ \cdots ,\ $
$\displaystyle \bigg| \ \sitabrace{\frac{1}{m},\ \frac{2}{m-1},\ \cdots ,\ \frac{m-1}{2},\ \frac{m}{1}}_{第m群} \ \bigg| \ ,\ \cdots$
このとき，数列$\{a_n\}$において，$\displaystyle \frac{q}{p}$は第何項か．ただし，$\displaystyle \frac{q}{p}$は，例えば$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$のように，約分しないものとする．次に，第$100$項$a_{100}$を求めよ．
(4)$2$次の正方行列$A$が
\[ A \left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right),\quad A \left( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
3 \\
2
\end{array} \right) \]
をみたすとする．このとき，自然数$n$に対して$A^n \left( \begin{array}{c}
5 \\
3
\end{array} \right)$を求めよ．
(5)$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$，$\mathrm{BC}$の長さが$1$，$\angle \mathrm{A}$が$\displaystyle \frac{\pi}{5}$の二等辺三角形$\mathrm{ABC}$を考える．頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$から$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の二等分線を引き，対応する辺との交点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，三角関数の値
\[ \sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \]
を求めよ．
（図は省略）