原点O$(0,\ 0,\ 0)$と点A$(1,\ 1,\ 1)$を通る直線を$\ell$とし，3点B$(1,\ 0,\ 0)$，C$(0,\ 2,\ 0)$，D$(0,\ 0,\ 3)$を通る平面を$\alpha$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}$は平面$\alpha$に垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，$\overrightarrow{a}$を成分で表しなさい．
(2)$\triangle$BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面$\alpha$へ引いた垂線と平面$\alpha$との交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線$\ell$上の点とする．Pを中心とする半径7の球面が点Qで平面$\alpha$に接するとき，P，Qの座標を求めなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(-1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$がある．次の各問に答えよ．

(1)四面体$\mathrm{OABC}$の体積$V$を求めよ．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$を求めよ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面を$\alpha$とおく．原点$\mathrm{O}$を中心とする球面と平面$\alpha$との共有点が$1$点だけのとき，その球面の方程式を求めよ．

以下の各問に答えよ．

(1)$a>0,\ b>0$のとき，不等式$\displaystyle \frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}$を証明せよ．また，等号が成り立つのはどのようなときか．
(2)$2\log_{10}u+\log_{10}v=1$とする．$u^3+uv^2$の最小値とそのときの$u,\ v$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{O}$を原点とする$xy$平面がある．この平面上に(2)で求めた$u,\ v$からなる点$\mathrm{A}(u,\ v)$をとる．点$\mathrm{A}$を通り，直線$\mathrm{OA}$と$30^\circ$の角をなす直線の方程式をすべて求めよ．

四面体OABCに平面$\alpha$が辺OA，AB，BC，OCとそれぞれP，Q，R，Sで
\[ \text{OP}:\text{PA}=\text{AQ}:\text{QB}=\text{BR}:\text{RC}=1:2 \]
を満たすように交わっている．$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OS}}=s \overrightarrow{c}$とおく．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{PR}},\ \overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$s,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(2)$s$の値を求めよ．

実数$\displaystyle t \left( 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2} \right)$に対し，座標平面上の点P$(2t-5,\ 0)$とQ$(t,\ t^2)$を考える．

(1)放物線$y=x^2$の$0 \leqq x \leqq t$の部分と線分OPおよび線分PQで囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，Oは原点を表す．
(2)$t$が$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{5}{2}$の範囲を動くとき，(1)で求めた面積の最大値を求めよ．

座標平面上に3点O$(0,\ 0)$，A$(r,\ 0)$，B$(0,\ 1)$がある．Oを中心として，Aを反時計回りに$\theta$回転した点をA$^\prime$とし，線分ABと線分OA$^\prime$の交点をPとする．ただし，$r$は$r>1$を満たす定数とし，$\theta$は$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$を満たす変数とする．$\theta$が不等式$\displaystyle \frac{1}{2}r \cos \theta \leqq \sin \theta \leqq 2r \cos \theta$を満たしながら変化するとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最小値$M$と，そのときのPの座標$(k,\ l)$を求めよ．

空間内に4点O，A，B，Cがあり，次の条件を満たすものとする．
\[ \text{OA}=1,\ \text{OB}=1,\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{BOC}=\frac{\pi}{3},\ \angle \text{COA}=\frac{\pi}{4} \]
また，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とし，Pは平面OAB上の点で$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=x \overrightarrow{a}+y \overrightarrow{b}$と表されているとする．点Pが$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．

(1)点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする．したがって，$\text{CQ} \perp \text{OA},\ \text{CQ} \perp \text{OB}$である．$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=u \overrightarrow{a}+v \overrightarrow{b}$と表したとき，$u,\ v$を求めよ．
(2)$(ⅰ)$ \ 内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$の最大値と最小値を求めよ．また，最大値をとるときの$x,\ y$の値，最小値をとるときの$x,\ y$の値をそれぞれ求めよ．\\
$(ⅱ)$ \ $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のなす角$\theta$がとりうる値の範囲を求めよ．ただし，$0 \leqq \theta \leqq \pi$とする．
(3)内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}$が最大値，最小値をとるときの点PをそれぞれP$_1$，P$_2$とおく．点P$_1$，P$_2$はいずれも直線OQ上にあることを示せ．ただし，Qは(1)で定めた点とする．

以下の問いに答えよ．

(1)$|x+y+1| \leqq 3$で定まる座標平面の領域を$D$とする．$D$を図示せよ．
(2)方程式$\displaystyle y= \left( -1+\frac{1}{a} \right)x$で与えられる直線$\ell$と，(1)で定めた領域$D$の共通部分として与えられる線分を考える．この線分の長さの最小値を求めよ．また，線分の長さが最小となるときの直線$\ell$は，どのような方程式で与えられるか．ただし，$a$は$0$でない定数とする．

座標平面において，原点$\mathrm{O}$を中心とし半径が$1$の円$C$を考える．円$C$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$，点$\mathrm{Q}(0,\ 1)$，点$\mathrm{R} \displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$を通る放物線の方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた放物線と，線分$\mathrm{OP}$，線分$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)(2)で求めた部分の面積は，点$\mathrm{Q}$が弧の上にある扇形$\mathrm{OPR}$の面積より小さい．このことを用いて，円周率$\pi$に対して$\pi > 3.13$が成り立つことを示せ．ただし，$\sqrt{3}<1.733$であることを用いてよい．

以下の問いに答えよ．

(1)$2$つの行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$と$N=\left( \begin{array}{cc}
p & r \\
q & s
\end{array} \right)$が，
\[ M \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) N= \left( \begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array} \right) \]
をみたすのは，$p,\ q,\ r,\ s$の間にどのような関係が成り立つときか．
(2)行列$M=\left( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \right)$が，(1)で求めた関係をみたしているとする．行列$M$の表す$1$次変換による，点$\mathrm{A}(q,\ -p)$の像を点$\mathrm{C}$，点$\mathrm{B}(s,\ -r)$の像を点$\mathrm{D}$とする．座標平面の原点を$\mathrm{O}$とするとき，三角形$\mathrm{OCD}$の面積を求めよ．