以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．


円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$


円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．

(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．

(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．

次の文章内の$[ア]$～$[コ]$に適当な式または数値を入れよ．ただし，$[ク]$～$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である．

(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．

$xy$平面上の円$C:x^2+(y-2)^2=1$において，$C$上の点$\mathrm{N}(0,\ 3)$に対し，$\mathrm{P}$は$C$上の$\mathrm{N}$と異なる点とする．また，直線$\mathrm{NP}$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)実数$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{NQ}}=t \overrightarrow{\mathrm{NP}}$と表したとき，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{ON}}$を用いて表せ．ここで$\mathrm{O}$は原点を表す．
(2)$\mathrm{P}$の座標を$(a,\ b)$とおくとき，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{Q}$の座標が$(\sqrt{3},\ 0)$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

座標空間において，点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を$3$つの頂点とする$\triangle \mathrm{ABC}$を考える．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を含む平面上の点と原点$\mathrm{O}$との距離の最小値を求めよ．

$xy$平面上の点$(1,\ 4)$を通り，また，曲線$y=f(x)=x^3+3x^2+x+7$と$1$点で接し，他の$1$点で交わる直線の方程式をすべて求めなさい．

$xy$平面において，$x$軸の$x < 0$である部分を$C_1$，$x$軸の$x>1$である部分を$C_2$とする．また，2点$(0,\ -1),\ (1,\ -1)$を結ぶ線分を$K$とする．$y>0$をみたす点$(x,\ y)$からは，$C_1$と$C_2$が障害となり，$C_1$と$C_2$の間を通してしか，$K$は見えないものとする．点$(s,\ 1)$から見える$K$の部分の長さを$f(s)$，点$(2,\ t)\ (t>0)$から見える$K$の部分の長さを$g(t)$とおく．ただし，$K$がまったく見えないとき，または，$K$の1点のみが見えるとき，$f(s),\ g(t)$の値は0とする．次の問いに答えよ．

(1)$f(s)$を求めよ．また，$s$が実数全体を動くとき，関数$f(s)$のグラフを描け．
(2)$g(t)$を求めよ．また，$t$が正の実数全体を動くとき，関数$g(t)$のグラフを描け．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．

平面上のベクトル$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$は大きさが等しく，互いに直交している．$\overrightarrow{a} = (7,\ 9)$とするとき，$2\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\overrightarrow{a}$が成り立つ．次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{x}$を内積$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}$を用いて表せ．
(2)内積$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{x}$，および内積$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{x}$の値を求めよ．
(3)ベクトル$\overrightarrow{x},\ \overrightarrow{y}$の成分をすべて求めよ．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

座標平面上で，$x$座標．$y$座標がともに整数である点を格子点という．$n$を正の整数として，変数$x,\ y$についての不等式
\[ |x|+|y|<n \]
の表す領域内にある格子点$(x,\ y)$の個数を$a_n$とする．以下の問いに答えなさい．

(1)$a_1,\ a_2,\ a_3$を求めなさい．
(2)$a_{n+1}-a_n$を$n$で表しなさい．
(3)$a_n$を求めなさい．