座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の時刻$t$における座標$(x,\ y)$が
\[ x=2t-\sin 2t,\quad y=1-\cos 2t \quad (0 \leqq t \leqq \pi) \]
で表される．

(1)点$\mathrm{P}$の時刻$\displaystyle t=\frac{\pi}{6}$における速度は$([コ],\ \sqrt{[サ]})$である．
(2)点$\mathrm{P}$の速さは$2 \sqrt{[シ]([ス]-\cos [セ]t)}$であり，その速さは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ソ]}$のとき最大値$[タ]$をとる．
(3)点$\mathrm{P}$の加速度は，その大きさが一定の値$[チ]$をとり，$x$軸の正の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{\pi}{[ツ]}$のときであり，$x$軸の負の方向を向くのは$\displaystyle t=\frac{[テ]}{[ト]} \pi$のときである．

座標平面上において直線$y=2x$を$\ell$とし，この直線$\ell$に関して対称な$2$点$\mathrm{P}(x,\ y)$，$\mathrm{Q}(u,\ v)$をとる．

(1)直線$\mathrm{PQ}$は直線$\ell$に垂直であるから
\[ v-y=\frac{[アイ]}{[ウ]} (u-x) \qquad \cdots\cdots① \]
が成り立つ．
(2)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の中点は直線$\ell$上にあるから
\[ v+y=[エ](u+x) \qquad \cdots\cdots② \]
が成り立つ．
(3)等式$①$と$②$より，$x,\ y$と$u,\ v$の間に関係
\[ \left( \begin{array}{c}
u \\
v
\end{array} \right)=\frac{1}{[オ]} \left( \begin{array}{cc}
[カキ] & [ク] \\
[ケ] & [コ]
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right) \qquad \cdots\cdots③ \]
が成り立つ．
(4)$1$次変換$③$を表す行列を$A$とすると，
\[ A^2=\left( \begin{array}{cc}
[サ] & [シ] \\
[ス] & [セ]
\end{array} \right),\quad A^{-1}=\frac{1}{[ソ]} \left( \begin{array}{cc}
[タチ] & [ツ] \\
[テ] & [ト]
\end{array} \right) \]
である．

$a$を正の定数とする．座標平面上において，曲線$\displaystyle y=\frac{2}{\sqrt{x}} \cdots\cdots①$上の点$\displaystyle \mathrm{A}(a,\ \frac{2}{\sqrt{a}})$における接線を$\ell$とする．

(1)接線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[ア]}{a \sqrt{a}}x+\frac{[イ]}{\sqrt{a}}$と表される．
(2)接線$\ell$が点$(2,\ 1)$を通るとすると，$a$は条件$a \sqrt{a}=[ウ]a-[エ]$を満たす．これより$a=[オ]$，$[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}$である．
(3)$a=[オ]$のとき，接点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ケ]$であり，接線$\ell$の傾きは$[コサ]$である．このとき，曲線$①$と接線$\ell$および直線$x=2$によって囲まれた図形の面積は$\displaystyle \frac{[シ] \sqrt{[ス]}-[セソ]}{[タ]}$である．

関数$\displaystyle f(x)=\log_2 8x \cdot \log_{\frac{1}{2}} \frac{4}{x}$について，以下の問いに答えよ．

(1)$t=\log_2x$とするとき，$f(x)$を$t$の関数$g(t)$として表せ．
(2)$(1)$で求めた関数を$s=g(t)$とするとき，この関数のグラフを座標平面上にえがけ．
(3)$\displaystyle \frac{1}{4} \leqq x \leqq 16$であるとき，$f(x)$の最大値，最小値とそのときの$x$の値をそれぞれ求めよ．

次の文章中の$[ア]$から$[タ]$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めよ．

$1$個のサイコロを$1$回投げ，出た目の回数だけ$1$枚の硬貨を投げることにする．このとき，$xy$平面上において，動点$\mathrm{A}$は原点$(0,\ 0)$から出発し，硬貨を投げるごとに，表が出れば$x$軸方向に$1$移動し，裏が出れば$y$軸方向に$1$移動する．ただし，サイコロを投げたとき，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$で，硬貨を投げたとき，表，裏の出る確率はどちらも$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．
サイコロの出た目の回数だけ硬貨を投げ終えたときの$\mathrm{A}$の位置を$(x,\ y)$とする．

(1)$(x,\ y)=(0,\ 6)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ][エ]}$である．

(2)$x=y$である確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

(3)$y=0$である確率は$\displaystyle \frac{[ケ][コ]}{[サ][シ][ス]}$である．

(4)$x=1$である確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ][タ]}$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．

(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．

$xy$平面に三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ \angle \mathrm{ABC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{BAC}=105^\circ,\quad \mathrm{BC}=1+\sqrt{3} \]
であるという．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$\mathrm{AB}=[アイ]+\sqrt{[ウ]}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{[エ]}$である．

(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=4$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{B}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}=3$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{C}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{F}$を$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$となるようにとる．このとき，$\mathrm{CF}=[キ]$で，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とおくと$\displaystyle S^2=\frac{[クケ]}{[コ]}$である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$がある．直線$y=a$と線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<a<2$とする．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$a$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値とそのときの$a$の値を求めよ．

座標空間において，$2$点$\mathrm{A}(\sqrt{6},\ 2,\ -\sqrt{6})$，$\mathrm{B}(-\sqrt{2},\ 2 \sqrt{3},\ \sqrt{2})$がある．原点を$\mathrm{O}$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$の両方に垂直である単位ベクトル$\overrightarrow{p}$をすべて求めよ．
(2)平面$z=1$と直線$\mathrm{OA}$および直線$\mathrm{OB}$との交点を，それぞれ$\mathrm{A}^\prime$，$\mathrm{B}^\prime$とする．このとき線分$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$の長さを求めよ．

次の各設問に答えよ．

(1)空間内に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 4)$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面上に原点$\mathrm{O}$から垂線を下ろし，この平面との交点を$\mathrm{P}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=a \overrightarrow{\mathrm{OA}}+b \overrightarrow{\mathrm{OB}}+c \overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (a,\ b,\ c \text{は実数}) \]
とすると$a+b+c=[ア]$となる．また

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[イウ] a+[エ] b=[オ]$

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[カキ] a+[クケ] c=[コ]$

となる．よって，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[サ]}{[シ]},\ \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right)$となる．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が偶数になる確率は$\displaystyle \frac{[チツ]}{[テト]}$である．また，出た目の積が偶数になる確率が$0.994$以上になるには，同時に投げるさいころの数は最低$[ナ]$個必要である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．