「平面」について
タグ「平面」の検索結果
（133ページ目：全1904問中1321問～1330問を表示）
私立 学習院大学 2012年 第1問平面上の点で，その座標が両方とも整数であるものを格子点と呼ぶ．原点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$以外の格子点$\mathrm{P}$に対して，線分$\mathrm{OP}$上にある$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$以外の格子点の個数を$n(\mathrm{P})$で表す．たとえば，点$\mathrm{P}(2,\ 3)$については$n(\mathrm{P})=0$である．条件
\[ 1 \leqq a \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad 1 \leqq b \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad n(\mathrm{P})=4 \]
をみたす格子点$\mathrm{P}(a,\ b)$の個数を求めよ．
\[ 1 \leqq a \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad 1 \leqq b \leqq 30 \quad \text{かつ} \quad n(\mathrm{P})=4 \]
をみたす格子点$\mathrm{P}(a,\ b)$の個数を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$4$点
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
\[ \mathrm{A}_1(1,\ 1,\ 1),\quad \mathrm{B}_1(-1,\ -1,\ 1),\quad \mathrm{C}_1(1,\ -1,\ -1),\quad \mathrm{D}_1(-1,\ 1,\ -1) \]
を考えると，立体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$は正四面体である．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$を$xy$平面に平行な平面$z=-1+h (0 \leqq h \leqq 2)$で切ったときに出来る図形の面積を$S(h)$とすると，
\[ S(h)=-[$34$]h^2+[$35$]h \]
と表され，$S(h)$は$h=[$36$]$のとき最大値$[$37$]$をとる．（このときの図形はペトリー多角形と呼ばれている．）さらに，
\[ V_1=\int_0^2 S(h) \, dh=\frac{[$38$]}{[$39$]} \]
とおくと，$V_1$は正四面体$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$の体積となっている．
(2)三角形$\mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1$，三角形$\mathrm{C}_1 \mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1$，三角形$\mathrm{D}_1 \mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1$，三角形$\mathrm{A}_1 \mathrm{B}_1 \mathrm{C}_1$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{C}_2$，$\mathrm{D}_2$とする．このとき，立体$\mathrm{A}_2 \mathrm{B}_2 \mathrm{C}_2 \mathrm{D}_2$は再び，正四面体となる．（このことを，正四面体は自己双対であるという．）同様に，$n$を自然数として，三角形$\mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$，三角形$\mathrm{C}_n \mathrm{D}_n \mathrm{A}_n$，三角形$\mathrm{D}_n \mathrm{A}_n \mathrm{B}_n$，三角形$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n$の重心をそれぞれ$\mathrm{A}_{n+1}$，$\mathrm{B}_{n+1}$，$\mathrm{C}_{n+1}$，$\mathrm{D}_{n+1}$とする．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1+\overrightarrow{\mathrm{OA}}_2+\cdots +\overrightarrow{\mathrm{OA}}_n=\frac{[$40$]}{[$41$]} \left\{ 1-\left( -\frac{[$42$]}{[$43$]} \right)^n \right\} \overrightarrow{\mathrm{OA}}_1 \]
である．また，正四面体$\mathrm{A}_n \mathrm{B}_n \mathrm{C}_n \mathrm{D}_n$の表面積$S_n$と体積$V_n$は，それぞれ，
\[ S_n=[$44$] \cdot [$45$]^{-[$46$]n+\frac{[$47$]}{2}},\quad V_n=[$48$] \cdot [$49$]^{-[$50$]n+[$51$]} \]
である．
私立 上智大学 2012年 第3問一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$を考える．底面$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を$r$とおき，頂点$\mathrm{O}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に垂直な直線からの距離が$r$以下である点全体からなる円柱を$T$とする．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．
(1)$\displaystyle r=\frac{\sqrt{[ネ]}}{[ノ]}$である．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$の高さは$\displaystyle \frac{\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}$である．
(3)辺$\mathrm{AB}$の中点と頂点$\mathrm{O}$とを結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$をとり，$x=\mathrm{OP}$とおく．$\mathrm{P}$を通り底面$\mathrm{ABC}$に平行な平面による側面$\mathrm{OAB}$の切り口を$L$とする．
$L$が$T$に含まれるような$x$の最大値を$x_1$とすると
\[ x_1=\frac{\sqrt{[フ]}}{[ヘ]} \]
である．
$\displaystyle x_1 \leqq x \leqq \frac{\sqrt{3}}{2}$のとき，$L$と$T$の共通部分の長さは
\[ \frac{[ホ]}{[マ]} \sqrt{\frac{[ミ]}{[ム]}-x^2} \]
である．
正四面体$\mathrm{OABC}$の表面で$T$に含まれる部分の面積は
\[ \frac{\pi}{[メ]} \]
である．
私立 上智大学 2012年 第3問座標平面上の点$(x,\ y)$のうち，$x,\ y$がともに整数である点を格子点とよぶ．いま，格子点の集合$A$を次のように定義する．
\[ A=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 16<x^2+y^2 \leqq 36,\ x \text{と} y \text{は整数} \} \]
(1)$A$の点は全部で$[ム]$個ある．
(2)格子点上を$1$秒間に右または上に$1$動く点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点から出発し，$A$の点の$1$つに到達したら停止する．このとき，$\mathrm{P}$が到達できない$A$の点は全部で$[メ]$個ある．以下，$\mathrm{P}$が到達できる$A$の部分集合を$A_0$とする．
(3)$(2)$で考えた点$\mathrm{P}$が右に動く確率と上に動く確率をともに$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．また，各格子点における$\mathrm{P}$の動きは，その点に至るまでの動き方と独立に決まるものとする．
(i) 原点からの経路の数が最も多い$A_0$の点は$\mathrm{Q}([モ],\ [ヤ])$であり，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$に到達する確率は$\displaystyle \frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
(ii) 原点からの経路の数が$\mathrm{Q}$の次に多い$A_0$の点は全部で$[ラ]$個あり，それらの点のいずれかで$\mathrm{P}$が停止する確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
(iii) $\mathrm{P}$が$A_0$の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロ]}$秒である．
\[ A=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 16<x^2+y^2 \leqq 36,\ x \text{と} y \text{は整数} \} \]
(1)$A$の点は全部で$[ム]$個ある．
(2)格子点上を$1$秒間に右または上に$1$動く点$\mathrm{P}$を考える．$\mathrm{P}$は原点から出発し，$A$の点の$1$つに到達したら停止する．このとき，$\mathrm{P}$が到達できない$A$の点は全部で$[メ]$個ある．以下，$\mathrm{P}$が到達できる$A$の部分集合を$A_0$とする．
(3)$(2)$で考えた点$\mathrm{P}$が右に動く確率と上に動く確率をともに$\displaystyle \frac{1}{2}$とする．また，各格子点における$\mathrm{P}$の動きは，その点に至るまでの動き方と独立に決まるものとする．
(i) 原点からの経路の数が最も多い$A_0$の点は$\mathrm{Q}([モ],\ [ヤ])$であり，$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$に到達する確率は$\displaystyle \frac{[ユ]}{[ヨ]}$である．
(ii) 原点からの経路の数が$\mathrm{Q}$の次に多い$A_0$の点は全部で$[ラ]$個あり，それらの点のいずれかで$\mathrm{P}$が停止する確率は$\displaystyle \frac{[リ]}{[ル]}$である．
(iii) $\mathrm{P}$が$A_0$の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は$\displaystyle \frac{[レ]}{[ロ]}$秒である．
私立 中央大学 2012年 第2問平面上に$2$本の平行な直線の組が$n$組ある．異なる組の直線は平行ではなく，どの$3$本の直線も$1$点で交わることはないとする．これら$2n$本の直線の交点の総数を$a_n$，平面がこれら$2n$本の直線によって分けられている部分の個数を$b_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(4)$b_n$を求めよ．
(1)$a_{n+1}$と$a_n$の関係式を求めよ．
(2)$a_n$を求めよ．
(3)$b_{n+1}$と$b_n$の関係式を求めよ．
(4)$b_n$を求めよ．
私立 中央大学 2012年 第2問座標平面上に円$(x+4)^2+y^2=16$と点$\mathrm{P}(4,\ 0)$がある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通る直線$y=mx+n$が円と$2$個の共有点を持つように定数$m$の値の範囲を定めよ．
(2)円周上を動く点$\mathrm{Q}$がある．線分$\mathrm{PQ}$を$3:2$に内分する点の軌跡を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$を通る直線$y=mx+n$が円と$2$個の共有点を持つように定数$m$の値の範囲を定めよ．
(2)円周上を動く点$\mathrm{Q}$がある．線分$\mathrm{PQ}$を$3:2$に内分する点の軌跡を求めよ．
私立 中央大学 2012年 第3問$h>0,\ d \geqq 0$とし，座標空間において$4$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{C}(h,\ 0,\ -d)$，$\mathrm{D}(0,\ h,\ d)$を頂点とする四面体を考える．さらに$\mathrm{CD}=2$とする．したがって，四面体の$6$本の辺のうち向かい合う$2$辺の長さは$3$組とも互いに等しい．つまり
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており，$4$つの面はすべて互いに合同である．この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ．
(1)$h$を$d$で表し，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく．
(2)点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ．また，四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ．さらに，計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ．
(3)辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(4)平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている．$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし$2$平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており，$4$つの面はすべて互いに合同である．この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ．
(1)$h$を$d$で表し，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく．
(2)点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ．また，四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ．さらに，計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ．
(3)辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(4)平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている．$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし$2$平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である．
私立 上智大学 2012年 第2問$xy$平面上で次の不等式の表す領域を$D$とする．
\[ \log_2(2y+1)-1 \leqq \log_2x \leqq 2+\log_2y \leqq \log_2x+\log_2(4-2x) \]
(1)$D$は次の不等式
\[ x \leqq [ケ]y \leqq [コ]x^2+[サ]x \]
および
\[ y \leqq [シ]x+\frac{[ス]}{[セ]} \]
により定まる領域である．
(2)$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(3)$s<1$とし，点$(x,\ y)$が$D$上を動くとき，$y-sx$の最大値を$f(s)$とする．
(i) $[チ] \leqq s<1$のとき，$\displaystyle f(s)=[ツ]s+\frac{[テ]}{[ト]}$
(ii) $\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \leqq s<[チ]$のとき，
\[ f(s)=\frac{[ヌ]}{[ネ]}s^2+[ノ]s+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
(iii) $\displaystyle s<\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき，$\displaystyle f(s)=\frac{[フ]}{[ヘ]}s+\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
\[ \log_2(2y+1)-1 \leqq \log_2x \leqq 2+\log_2y \leqq \log_2x+\log_2(4-2x) \]
(1)$D$は次の不等式
\[ x \leqq [ケ]y \leqq [コ]x^2+[サ]x \]
および
\[ y \leqq [シ]x+\frac{[ス]}{[セ]} \]
により定まる領域である．
(2)$D$の面積は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$である．
(3)$s<1$とし，点$(x,\ y)$が$D$上を動くとき，$y-sx$の最大値を$f(s)$とする．
(i) $[チ] \leqq s<1$のとき，$\displaystyle f(s)=[ツ]s+\frac{[テ]}{[ト]}$
(ii) $\displaystyle \frac{[ナ]}{[ニ]} \leqq s<[チ]$のとき，
\[ f(s)=\frac{[ヌ]}{[ネ]}s^2+[ノ]s+\frac{[ハ]}{[ヒ]} \]
(iii) $\displaystyle s<\frac{[ナ]}{[ニ]}$のとき，$\displaystyle f(s)=\frac{[フ]}{[ヘ]}s+\frac{[ホ]}{[マ]}$である．
私立 中央大学 2012年 第2問$\mathrm{O}$を$xy$平面の原点とする．以下の設問に答えよ．
(1)$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$と点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を考える．
\[ a_1>0,\quad a_2>0,\quad b_1>0,\quad b_2<0 \]
であるとき，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を用いて表せ．
(2)対数関数
\[ f(x)=\log_2x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}}x \]
に対し，$xy$平面上の曲線
\[ \begin{array}{ll}
C_1:y=f(x) & (x \geqq 1) \\
C_2:y=g(x) & (x \geqq 1)
\end{array} \]
を考える．$C_1$上に点$\mathrm{S}(s,\ f(s))$，$C_2$上に点$\mathrm{T}(t,\ g(t))$をとる．ただし，$s \cdot t=8$とする．このとき$s$を用いて，$\triangle \mathrm{SOT}$の面積$H(s)$を表せ．
(3)$(2)$の$H(s)$に対し，$H(3)$と$H(4)$の大小を比較せよ．
(1)$xy$平面上の点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$と点$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を考える．
\[ a_1>0,\quad a_2>0,\quad b_1>0,\quad b_2<0 \]
であるとき，$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$a_1,\ a_2,\ b_1,\ b_2$を用いて表せ．
(2)対数関数
\[ f(x)=\log_2x,\quad g(x)=\log_{\frac{1}{4}}x \]
に対し，$xy$平面上の曲線
\[ \begin{array}{ll}
C_1:y=f(x) & (x \geqq 1) \\
C_2:y=g(x) & (x \geqq 1)
\end{array} \]
を考える．$C_1$上に点$\mathrm{S}(s,\ f(s))$，$C_2$上に点$\mathrm{T}(t,\ g(t))$をとる．ただし，$s \cdot t=8$とする．このとき$s$を用いて，$\triangle \mathrm{SOT}$の面積$H(s)$を表せ．
(3)$(2)$の$H(s)$に対し，$H(3)$と$H(4)$の大小を比較せよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の文章中の$[ア]$から$[ヒ]$までに当てはまる数字$0$～$9$を求めよ．ただし，分数は既約分数として表しなさい．
(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．
(1)$a$を実数とするとき，方程式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|=a \]
を考える．この方程式の実数解が$2$個であるための条件は
\[ a<[ア],\quad [イ]<a<[ウ][エ] \]
であり，実数解を持たないための条件は
\[ a>[オ][カ] \]
である．また，次の不等式
\[ |x|-|x^2-4|+|x+6|>2 \]
には，正の整数解が$[キ]$個，負の整数解が$[ク]$個ある．
(2)空間内に点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とおくとき，それぞれの大きさと内積が
\[ \begin{array}{l}
|\overrightarrow{a}|=9,\quad |\overrightarrow{b}|=12,\quad |\overrightarrow{c}|=\sqrt{42}, \\ \\
\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=72,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=57,\quad \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=48
\end{array} \]
であるとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角は$\displaystyle \frac{1}{[ケ]} \pi$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{[コ][サ]}{[シ]}$である．ベクトル
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]
が$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直交するのは$\displaystyle s=\frac{[ス]}{[セ]}$，$\displaystyle t=\frac{[ソ]}{[タ]}$のときである．したがって，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$[チ][ツ]$である．
(3)三角関数についての等式
\[ [テ] \cos^3 \theta-[ト] \cos \theta-\cos 3\theta=0 \]
を利用して，$t$に関する$3$次方程式
\[ [テ]t^3-[ト]t-\frac{\sqrt{2}}{2}=0 \]
を解いたとき，$\displaystyle \cos \frac{3}{4} \pi$が解の$1$つであることがわかる．したがって，この方程式の残りの$2$つの解は
\[ \cos \frac{[ナ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}+\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
と
\[ \cos \frac{[ノ]}{12} \pi=\frac{\sqrt{[ニ]}-\sqrt{[ヌ]}}{[ネ]} \]
となる．これより，
\[ \tan \frac{[ナ]}{12} \pi=[ハ]-\sqrt{[ヒ]} \]
となる．