次の問いに答えよ．

(1)$3$次関数$f(x)=ax^3+bx^2-5$の導関数$f^\prime(x)$が，$f^\prime(1)=1$と$f^\prime(2)=20$を満たすとき，定数$a$と$b$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$a$は正の実数で，$b=32a^3$とする．$x=\log_2b$，$y=\log_2a$とおくとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 4)$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$からの距離の$2$乗の和$\mathrm{AP}^2+\mathrm{BP}^2$が$18$である点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

動点$\mathrm{P}$が$xy$平面上を図のように$\mathrm{A}_0(0,\ 0)$から，まず$x$軸に沿って$\mathrm{A}_1(2^{10},\ 0)$まで進み，次に左に直角に曲がって$\mathrm{A}_2(2^{10},\ 2^9)$まで進み，さらに左に直角に曲がって$\mathrm{A}_3(2^{10}-2^8,\ 2^9)$まで進む．以下同様に線分の長さが
\[ \overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}=\frac{1}{2} \overline{\mathrm{A}_{n-1} \mathrm{A}_{n}} \quad (n \geqq 1) \]
を満たしながら左に直角に曲がりつつ進むとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overline{\mathrm{A}_n \mathrm{A}_{n+1}}<1$を満たす最小の$n$を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}_6$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{A}_{2k} (k \geqq 1)$の座標を$k$の式で表せ．
（図は省略）

$[　]$の中に答を入れよ．

(1)関数$f(\theta)=\sin^2 \theta-\sqrt{3} \cos \theta+2 (0 \leqq \theta \leqq \pi)$は，$\theta=[ア]$で最大値$[イ]$をとる．
(2)実数$x,\ y$が$2x+3y+1=0$を満たすとき，$4^x+8^y$は$x=[ウ]$で最小値$[エ]$をとる．
(3)実数$a$に対して，$3$次方程式$9x^3-3x^2+ax-1=0$の$1$つの解が$\displaystyle \frac{1}{3}$のとき，$a=[オ]$である．また，この方程式の$\displaystyle \frac{1}{3}$以外の解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\displaystyle \alpha^{18}+\beta^{18}=\frac{[カ]}{3^9}$である．
(4)平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(3,\ 0)$を通る傾き$m$の直線$\ell$がある．$\ell$と$C$が異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わるとき，$m$の範囲は$[キ]$である．また，線分$\mathrm{AB}$の長さが$\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{5}$のとき，$m=[ク]$である．
(5)$a$を$0$でない実数とする．関数$f(x)=a(x^3-3x^2+a)$の極小値が$1$であり，極大値が$7$より大きいとき，$a=[ケ]$で，その極大値は$[コ]$である．

$a$を正の実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{P}(0,\ 1-a,\ 0)$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つように実数$s,\ t$の値を定めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にあることを示せ．
(3)実数$a$が$0<a<3$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BCHP}$の体積の最大値を求めよ．

$a$を正の実数とする．空間内の$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 2)$を通る平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{P}(0,\ 1-a,\ 0)$から平面$\alpha$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)等式$\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\overrightarrow{\mathrm{PA}}+s \overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$が成り立つように実数$s,\ t$の値を定めよ．
(2)線分$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{H}$は直線$\mathrm{AM}$上にあることを示せ．
(3)実数$a$が$0<a<3$の範囲を動くとき，四面体$\mathrm{BCHP}$の体積の最大値を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(0,\ 2)$，点$\mathrm{B}(0,\ b)$，点$\mathrm{C}(c,\ 0)$がある．ただし，$b>2$，$c>2$とする．また，原点を$\mathrm{O}$とし，$\angle \mathrm{OCA}=\alpha$，$\angle \mathrm{OCB}=\beta$，$\angle \mathrm{ACB}=\theta$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\tan \alpha$を$c$で表せ．また，$\tan \beta$を$b,\ c$で表せ．
(2)$\tan \theta$を$b,\ c$で表せ．
(3)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$を$c$で表せ．
(4)$\displaystyle \theta=\frac{\pi}{4}$のとき，$b$と$c$がともに整数となるような$(b,\ c)$の組をすべて求めよ．

$a,\ b$を正の定数とし，関数$f(x)=2x^3-3ax^2$と座標平面上の$2$つの曲線$C_1:y=f(x)$，$C_2:y=f(x)+b$を考える．

(1)$f(x)$の極大値と極小値を求めよ．
(2)区間$0 \leqq x \leqq 5$における$f(x)$の最小値を$a$で表せ．
(3)$a=1,\ b=5$として，同一平面上に$C_1$と$C_2$を図示せよ．
(4)$1$つの直線が$C_1$，$C_2$の両方の接線であるとき，その直線を$C_1$，$C_2$の共通接線という．$a=1$のとき，$C_1$と$C_2$に，傾き$12$の共通接線があるように$b$の値を定めよ．

空欄$[　]$に当てはまるものを入れよ．

$t$を正の実数とする．座標平面上の放物線$C_1:y=x^2$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における$C_1$の接線を$\ell_1$とする．$\mathrm{P}$において$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，$\mathrm{P}$において$\ell_2$に接する放物線$C_2:y=-x^2+ax+b$を考える．次の問に答えよ．
(1)$C_1$と$C_2$のもう一つの交点$\mathrm{Q}$は$([ア],\ [イ])$であり，線分$\mathrm{PQ}$の長さは$([ウ])^{[エ]}$である．
(2)$C_1$と$C_2$によって囲まれる部分の面積$S$は
\[ \frac{[オ]}{[カ]} \cdot ([キ])^{[ク]} \]
であり，$S$は$\displaystyle t=\frac{[ケ]}{[コ]}$のときに最小値$\displaystyle \frac{[サ]}{[シ]}$を取る．

(3)$C_2$の頂点$\mathrm{R}$は$([ス],\ [セ]+[ソ])$であり，$\triangle \mathrm{PQR}$の重心の軌跡は
\[ y=\frac{[タ]}{[チ]}x^2+\frac{[ツ]}{[テ]} \]
である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，点$(1,\ 1)$を点$(5,\ 5)$に，点$(1,\ -7)$を点$(-3,\ 21)$に移す$1$次変換を$f$とする．$f$による点$\mathrm{P}$の像を点$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$に対して内積の条件
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=0 (*) \]
を考える．

(1)$f$を表す行列を求めよ．
(2)条件$(*)$を満たす点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$2$直線となる．この$2$直線の方程式を求めよ．
実数$a \geqq 0$に対して，
「点$(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円周上の点$\mathrm{P}$で，条件$(*)$を満たすものがちょうど$2$つある」 $(**)$
とする．この$2$点を$\mathrm{P}_1(x_1,\ y_1)$，$\mathrm{P}_2(x_2,\ y_2)$とするとき，$i=1,\ 2$に対して，$\mathrm{P}_i$の$f$による像を$\mathrm{Q}_i$とし，$\triangle \mathrm{OP}_i \mathrm{Q}_i$の面積を$S_i$とする．
(3)上の条件$(**)$を満たす$a$の値の範囲を求めよ．
(4)$S_i$を$y_i$を用いて表せ．また，和$S_1+S_2$の値を$a$を用いて表せ．

$k>0$として，座標平面上の曲線$C:y=e^{kx}$を考える．曲線$C$上の点$\mathrm{P}$を，$\mathrm{P}$における$C$の接線$\ell_1$が原点$\mathrm{O}$を通るようにとる．また，点$\mathrm{P}$を通リ$\ell_1$と直交する直線を$\ell_2$とし，図のように，曲線$C$，直線$\ell_2$，$x$軸，$y$軸の$4$つで囲まれた図形を$A$とする．ただし，$e$は自然対数の底である．
（図は省略）

(1)点$\mathrm{P}$の座標と，直線$\ell_2$と$x$軸との交点の座標を求めよ．
(2)図形$A$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．
(3)$k$が$k>0$を動くとき，$(2)$で求めた$V$の最小値と，それを与える$k$の値を求めよ．