点$\mathrm{O}$を座標平面の原点とする．$a,\ b$を正の実数とする．放物線$C_1:y=ax^2$と放物線$\displaystyle C_2:y=-(x-b)^2+\frac{5}{16}$は，共に，点$\mathrm{P}(x_0,\ y_0)$において直線$\ell$に接しているとする．直線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{R}(x_0,\ 0)$とする．次の各問に答えよ．

(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)線分の長さの比$\mathrm{OQ}:\mathrm{QR}$を求めよ．
(3)$\displaystyle a=\frac{1}{4}$とする．$x$軸と$C_1$と$x \leqq x_0$の部分の$C_2$とで囲まれる図形の面積を求めよ．

$x$-$y$平面上に$2$点$\mathrm{A}(2,\ -1)$，$\mathrm{B}(-3,\ 3)$をとる．このとき、次の各問いに答えよ．答のみ解答欄に記入せよ．

(1)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の中心を$(p,\ q)$とするとき，$p$と$q$の関係式を求めよ．
(2)点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を直径の両端とする円の方程式を
$(x-p_0)^2+(y-q_0)^2={r_0}^2 \quad (p_0,\ q_0,\ r_0\ \text{は定数})$の形に表せ．
(3)$(2)$の結果を用いて，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る円の方程式を，$k \ (\neq 0)$を定数として
\[ k\left\{(x-p_0)^2+(y-q_0)^2-{r_0}^2\right\}+ax+by=c \]
と表すとき，$\displaystyle\frac{b}{a},\ \frac{c}{a}$を求めよ．

$x$-$y$平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\displaystyle \mathrm{A} \left( \frac{1}{\sqrt{2}},\ 0 \right)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{\sqrt{2}} \right)$をとり，図のように，$\triangle \mathrm{OAB}$の各辺上または内部に，$\mathrm{DE} \para \mathrm{OB}$かつ$\angle \mathrm{DCE}$を直角とする二等辺三角形$\mathrm{CDE}$をとる．点$\mathrm{C}$，$\mathrm{E}$はそれぞれ$\mathrm{OB}$，$\mathrm{AB}$上の点とする．線分$\mathrm{CE}$の長さを$m (>0)$とおくとき，次の各問に答えよ．

(1)$m$の最大値を求めよ．
(2)$s,\ t$を正数とし，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$[ア] \overrightarrow{\mathrm{OA}}+[イ] \overrightarrow{\mathrm{OB}}$と表すとき，空欄$[ア]$，$[イ]$をそれぞれ$s,\ t$および$m$の式で表せ.
(3)等式$\overrightarrow{\mathrm{OC}}+s \overrightarrow{\mathrm{CD}}+t \overrightarrow{\mathrm{CE}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$をみたす$s$，$t$をそれぞれ$m$の式で表せ．
(4)(3)で求めた$s,\ t$を用いて，点$\mathrm{P}(x,\ y)$を$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{OB}}$によって定める．このとき，$\displaystyle \frac{y}{x}$を$\displaystyle \frac{1}{m}$の式で表せ．
(5)(4)における点$\mathrm{P}(x,\ y)$の軌跡は$x,\ y$の方程式
\[ (x+[ウ])^2+(y-[エ])^2=[オ] \]
で表される．このとき，空欄$[ウ]$，$[エ]$，$[オ]$にあてはまる数値を求めよ．
（図は省略）

座標平面上に$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1)$がある．実数$a$に対して$4$点$\mathrm{P}(a+1,\ a)$，$\mathrm{Q}(a,\ a+1)$，$\mathrm{R}(a-1,\ a)$，$\mathrm{S}(a,\ a-1)$をとる．このとき，次の設問に答えよ．

(1)長方形$\mathrm{OABC}$と正方形$\mathrm{PQRS}$が共有点を持つような$a$の範囲を求めよ．
(2)長方形$\mathrm{OABC}$と正方形$\mathrm{PQRS}$の共通部分の面積が最大となる$a$の値と，そのときの共通部分の面積を求めよ．

平面上に点$\mathrm{O},\ \mathrm{A}_1,\ \mathrm{A}_2,\ \mathrm{A}_3,\ \cdots,\ \mathrm{A}_{100}$がある．ただし，同じ点があってもよい．また，平面上の点$\mathrm{P}$に対して，
\[ f(P) = \sum_{i=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{PA}}_i|^2 \]
とする．また，$f(\mathrm{P})$の最小値を$m$とし，平面上の点$\mathrm{C}$は$f(\mathrm{C})=m$を満たすとする．
このとき，次の設問に答えよ．

(1)$\overrightarrow{a_i}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}_i (i=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ 100)$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a_i}$を用いて表せ．
(2)次の条件
\[ (*) \qquad \sum_{i=1}^{100} \left( \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_i \mathrm{A}_j}|^2 \right) = \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_1 \mathrm{A}_j}|^2 + \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_2 \mathrm{A}_j}|^2 + \cdots+ \sum_{j=1}^{100} |\overrightarrow{\mathrm{A}_{100} \mathrm{A}_j}|^2=4000 \]
が成立しているときの$m$の値を求めよ．
(3)(2)における条件$(*)$が成立しているとき，集合
\[ \left\{A_i \ \; \bigg| \ \; |\overrightarrow{\mathrm{CA}_i}| \geqq 2,\ 1 \leqq i \leqq 100,\ i \text{は整数} \right\} \]
の要素の個数の最大値を求めよ．

次の小問の解答を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)実数$a,\ b$が$0 \leqq a \leqq \pi$，$a<b$をみたすとき，
\[ I(a,b) = \int_a^b e^{-x}\sin x\;dx \]
とおく．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ \lim_{b \to \infty} I(a,\ b) = 0 \]
が成立するように$a$を定めよ．

(2)行列$A=
\begin{pmatrix}
\;\;\; a & b \;\;\;\; \\
\;\;\; c & d \;\;\;\;
\end{pmatrix}
$は$ad-bc=2$および$a+d=3$をみたし，かつ，ある行列
\[ B =
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; \alpha & 0 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & \beta \;\;\;\;
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\;\;\; 1 & 1 \;\;\;\; \\
\;\;\; 0 & 1 \;\;\;\;
\end{pmatrix}^{-1}
\]
に対して$AB=BA$をみたしている．ただし$\alpha \neq \beta$とする．このような行列$A$をすべて求めよ．

(3)$c$を正の実数として，漸化式
\[ a_n = \frac{{a_{n-1}}^2}{3^n} \quad (n \geqq 1), \qquad a_0 = c \]
で定義される数列$\{a_n\}$を考える．このとき$\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n = \infty$となるような$c$の範囲を求めよ．
(4)実数$t$が$1 \leqq t \leqq 2$の範囲で動くとき，$xy$平面の直線
\[ y=(3t^2-4)x-2t^3 \]
が通る範囲を$H$とする．$H$の内，直線$x=1$と$\displaystyle x=\frac{20}{9}$ではさまれる部分の面積を求めよ．

$xy$平面上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$をとる．$\displaystyle\frac{\pi}{4} \leqq \angle\mathrm{APB} \leqq \pi$をみたす平面上の点$\mathrm{P}$の全体と点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$からなる図形を$F$とする．つぎの問に答えよ．

(1)$F$を図示せよ．
(2)$F$を$x$軸のまわりに$1$回転して得られる立体の体積を求めよ．

半径$1$の球が平面の上に接している．平面との接点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{O}$を球の南極点とみなしたときの球の北極点を$\mathrm{N}$とする．平面上に点$\mathrm{A}$を$\mathrm{OA}=3$となるようにとる．また点$\mathrm{B}$を$\mathrm{OB}=4$であり，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{OB}$が直交するようにとる．\\
\quad 点$\mathrm{N}$と平面上の点$\mathrm{P}$を結ぶ直線が球面と交わる$2$点の内，$\mathrm{N}$と異なる点を$\mathrm{P}^{\prime}$とする．このとき$\mathrm{N}$と$\mathrm{A}^{\prime}$，$\mathrm{B}^{\prime}$の距離はそれぞれ
\[ \mathrm{NA}^{\prime}= \frac{[$1$][$2$]}{\sqrt{[$3$][$4$]}},\quad \text{NB}^{\prime}=\frac{[$5$][$6$]}{\sqrt{[$7$][$8$]}} \]
である．点$\mathrm{P}$が直線$\mathrm{AB}$上を動くとき，$\mathrm{P}^{\prime}$は直径
\[ \frac{[$9$][$10$]}{\sqrt{[$11$][$12$]}} \]
の円を動く．

関数$f(x)$を
\[ f(x) = \frac{\sqrt{2}}{6}x^3 + \frac{9}{2} \]
と定める．さらに，$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$C:y=f(x)$を考える．

(1)曲線$C$上の点$(2,\ f(2))$における接線を$\ell_1$とおく．直線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_1$を(1)で定めた直線とする．曲線$C$と直線$\ell_1$は点$(2,\ f(2))$以外にもう$1$つ共有点をもつ．その共有点の$x$座標を求めよ．
(3)$m$を実数とし，原点$\mathrm{O}$を通る直線$\ell_2:y=mx$を考える．曲線$C$と直線$\ell_2$が共有点をちょうど$2$個もつときの$m$の値を求めよ．

次の各設問の$[12]$から$[15]$までの空欄に適するものを書け．また，$[　]$には数字を入れよ．

$xy$平面上で連立不等式$3x-y+1 \geqq 0,\ x+3y-3 \geqq 0,\ 2x+y-6 \leqq 0$の表す領域を$D$とする．
(1)点$(x,\ y)$が領域$D$を動くとき，$3x+2y$の最大値は$[12]$であり，最小値は$[13]$である．
(2)領域$D$は三角形である．この三角形の外接円の中心の座標は$([14],\ [15])$であり，半径は$[　]$である．