2次の正方行列$A$で表される1次変換を$f$とする．Oを原点とする座標平面上に，異なる2点P$(x_1,\ y_1)$，Q$(x_2,\ y_2)$があって，次の2つの条件を満たす．

条件1：1次変換$f$により，点Pは点$(-2x_2,\ -2y_2)$に移る．
条件2：合成変換$f \circ f$により，点Qは点$(4x_1,\ 4y_1)$に移る．


(1)行列$A^3$で表される1次変換により，点Pは点$(-8x_1,\ -8y_1)$に，点Qは点$(-8x_2,\ -8y_2)$に移ることを示せ．
(2)3点O，P，Qは同一直線上にないことを示し，$x_1y_2-x_2y_1 \neq 0$を示せ．
(3)$A^3=-8E$を示せ．ただし，$E$は2次の単位行列である．

座標平面上に2点P$(x,\ 2)$，Q$(1-\sqrt{3},\ y)$がある．

(1)原点を中心とする$60^\circ$の回転移動によって点Pが点Qに移るとき，$x$と$y$の値を求めよ．
(2)$x$と$y$は(1)で求めた値とする．点Pを点Qに，点Qを点Pに移す1次変換を表す行列$A$を求めよ．
(3)自然数$n$と(2)で求めた行列$A$に対し
\[ A+2A^2+3A^3+4A^4+\cdots +(2n-1)A^{2n-1}+2nA^{2n} \]
を求めよ．

座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．

座標平面上で$y=x+1$で表される直線を$\ell$とする．また，4点A$(-1,\ 1)$，B$(0,\ -2)$，C$(3,\ 1)$，D$(1,\ 3)$をとる．以下の問いに答えよ．

(1)領域$R_1=\{ (x,\ y) \;|\; y>x+1 \}$と$R_2=\{ (x,\ y) \;|\; y \leqq x+1 \}$を考える．4点A，B，C，Dはそれぞれ，領域$R_1,\ R_2$のどちらにあるか答えよ．
(2)$k$を定数とし，直線$y=x+k$上に点E$(x,\ x+k)$をとる．Eと直線$\ell$の距離が$\sqrt{2}$となる$k$の値をすべて求めよ．
(3)四角形ABCDの周または内部で，直線$\ell$との距離が$\sqrt{2}$以下となる点の範囲を図示せよ．
(4)点P$(x,\ y)$が(3)で求めた範囲を動くとき，$2x+y$がとる値の最小値と最大値を求めよ．

原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2)$に対して，線分$\mathrm{OA}$上の点$\mathrm{P}$と線分$\mathrm{OB}$上の点$\mathrm{Q}$を，直線$\mathrm{PQ}$が三角形$\mathrm{OAB}$の面積を二等分するようにとる．下の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の$y$座標が$t$のとき，直線$\mathrm{PQ}$の方程式と$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)で求めた範囲で$t$を動かすとき，直線$\mathrm{PQ}$が通る点全体の領域を求め，図示せよ．

平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$は同一直線上にないものとし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=1$とする．また，$t$を正の実数とし，平面上の点$\mathrm{P}$を$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t \overrightarrow{\mathrm{AC}}$と定め，線分$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$t$および$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(2)三角形$\mathrm{ABP}$の面積を$t$と内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{CP}}$かつ点$\mathrm{Q}$が線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分するとき，三角形$\mathrm{BPQ}$の面積を求めよ．

次の[　]の中を適当に補いなさい．

(1)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=(2 \sin \theta-3 \cos \theta)^2-(2 \sin \theta-3 \cos \theta)+1$の最大値$M$と最小値$m$を求めると，$(M,\ m)=[　]$．
(2)$x^2-4x-3=0,\ x>0$のとき，$2x^4+0x^3+1x^2+2x+2012=p+q\sqrt{7}$を満たす整数$p,\ q$は$(p,\ q)=[　]$．
(3)平面上に$\mathrm{A}(a,\ b)$，$\mathrm{B}(-2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0)$がある．点$\mathrm{M}$は線分$\mathrm{AB}$ \\
の中点で点$\mathrm{X}$は線分$\mathrm{AC}$を$(1-t):t$に内分する点である．ただし， \\
$\displaystyle -4<a<0,\ b>0,\ 0<t<\frac{1}{2}$とする．直線$\mathrm{MX}$と直線$\mathrm{BC}$の \\
交点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{BX}$の交点を$\mathrm{Q}$とする．三角形$\mathrm{BCX}$の面積を$S_1$，三角形$\mathrm{XPQ}$の面積を$S_2$とおくと，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}=[　]$．
\img{2_2_2012_1}{40}

座標平面上の2点A$(6,\ 0)$，B$(-2,\ 4)$を結ぶ線分AB上を点Tが移動する．原点Oと点Tを頂点とし，2辺がそれぞれ$x$軸と$y$軸上にある長方形の面積を$S$とする．また，点Tの座標を$(x,\ f(x))$とし，$S$を$x$の関数として$S(x)$と表す．次の各問に解答しなさい．

(1)$f(x)$と$S(x)$を$x$で表しなさい．さらに，区間$-2 \leqq x \leqq 6$における$y=S(x)$のグラフの概形を図示しなさい．
(2)直線$x=-2$と曲線$y=S(x)$および$x$軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．
(3)区間$-2 \leqq x \leqq 4$における任意の$x$の値について，区間$x \leqq t \leqq x+2$における関数$S(t)$の最大値を$x$の関数として$M(x)$と定義する．関数$M(x)$を$x$で表し，さらに$y=M(x)$のグラフの概形を図示しなさい．

座標空間内において，2点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$を端点とする線分OA，平面$z=2$上に点$(0,\ 0,\ 2)$を中心とする半径1の円周$C$，および$C$上の動点Pがあるとする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線PAと$xy$平面との交点をA$^\prime$とするとき，A$^\prime$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分OA$^\prime$が動いてできる$xy$平面上の図形を描け．
(3)(2)の図形の面積を求めよ．

$0 \leqq a \leqq 1$をみたす$a$に対して$A=\left( \begin{array}{cc}
\sqrt{1-a^2} & -a \\
a & \sqrt{1-a^2}
\end{array} \right)$とし，$A$の表す$1$次変換によって，平面上の点$(1,\ 1)$が，直線$y=\sqrt{3}x$上の点に移されるとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．

以下，$a$は$(1)$で求めた値とする．

\mon[$(2)$] $A^2$を求めよ．
\mon[$(3)$] $A^{2012}$を求めよ．