「平面」について
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国立 秋田大学 2012年 第3問$k$を実数とする．$xy$平面上の放物線$C:y=x^2+2x-2$と直線$\ell:y=kx$が異なる2点で交わるとし，交点の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta$とする．ただし，$\alpha<\beta$である．$C$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$(\beta-\alpha)^2$を$k$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$であることを示せ．
(3)$S^2$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．
(1)$(\beta-\alpha)^2$を$k$の式で表せ．
(2)$\displaystyle \int_\alpha^\beta (x-\alpha)(x-\beta) \, dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$であることを示せ．
(3)$S^2$の最小値とそのときの$k$の値を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第3問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 宮崎大学 2012年 第3問座標平面上の放物線$y=x^2$と直線$y=kx+1 \ (k \text{は実数})$の2つの交点をP，Qとし，点Pの$x$座標を$\alpha$，点Qの$x$座標を$\beta \ (\alpha<\beta)$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$の値を，$k$を用いて表せ．
(2)2点P，Qにおける放物線の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，その交点をRとするとき，点Rの$x$座標を，$k$を用いて表せ．
(3)放物線と(2)の2つの接線$\ell,\ m$で囲まれる部分の面積を，$k$を用いて表せ．
(1)$\alpha+\beta$および$\alpha\beta$の値を，$k$を用いて表せ．
(2)2点P，Qにおける放物線の接線をそれぞれ$\ell,\ m$とし，その交点をRとするとき，点Rの$x$座標を，$k$を用いて表せ．
(3)放物線と(2)の2つの接線$\ell,\ m$で囲まれる部分の面積を，$k$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2012年 第2問四面体OABCにおいて，
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
\[ \text{OA}=\text{OC}=4, \text{OB}=3, \angle \text{AOB}=\angle \text{BOC}=\angle \text{COA}=60^\circ \]
とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$の値を求めよ．
(2)平面ABC上の点Dを，直線ODが平面ABCに垂直に交わるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+p\overrightarrow{\mathrm{AB}}+q\overrightarrow{\mathrm{AC}}$とおくとき，$p$と$q$の値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．
国立 香川大学 2012年 第5問$a$を正の定数とし，座標平面上に異なる2点$\mathrm{A}(a,\ 0)$，$\mathrm{P}(x,\ 0)$をとる．線分の長さ$\mathrm{OP}$と$\mathrm{PA}$の比の値$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$について，次の問に答えよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点を表す．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$を$x,\ a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(1)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$を$x,\ a$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)$\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{PA}}$とするとき，関数$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
国立 宮崎大学 2012年 第4問座標平面上に，2つの放物線
\[ C_1:y=(x-t)^2+t,\quad C_2:y=-x^2+4 \]
がある．ただし，$t$は実数とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$C_1,\ C_2$が異なる2点で交わるとき，$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)のとき，$C_1$と$C_2$の2つの交点を結ぶ線分の中点の軌跡を図示せよ．
\[ C_1:y=(x-t)^2+t,\quad C_2:y=-x^2+4 \]
がある．ただし，$t$は実数とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$C_1,\ C_2$が異なる2点で交わるとき，$t$の値の範囲を求めよ．
(2)(1)のとき，$C_1$と$C_2$の2つの交点を結ぶ線分の中点の軌跡を図示せよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第3問平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第3問平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第2問平面上に互いに異なる3点O，A，Bがあり，それらは同一直線上にはないものとする．$\text{OA}=2,\ \text{OB}=3$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とし，その内積を$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=t$とおく．$\angle \text{AOB}$の二等分線と線分ABとの交点をCとし，直線OAに関して点Bと対称な点をDとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)$\overrightarrow{\mathrm{OC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OD}}$となるとき，$\angle \text{AOB}$とOCを求めよ．