四面体OABCは$\displaystyle \text{OA}=1,\ \text{OB}=\sqrt{15},\ \text{OC}=2,\ \angle \text{AOB}=\frac{\pi}{2},\ \angle \text{AOC}=\frac{\pi}{3}$を満たしている．線分OAとOBを$s:1-s \ (0<s<1)$に内分する点をそれぞれP，Qとし，$\triangle$CPQの重心をGとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c},\ \angle \text{BOC}=\theta \ (0<\theta < \pi)$として，次に答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$と$s$を用いて表せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$は平面ABCに垂直であるとする．

(3)$s$と$\cos \theta$の値を求めよ．
(4)線分OGとBCの長さ，および$\angle \text{BAC}$を求めよ．
(5)四面体OABCの体積$V$を求めよ．

座標平面に点$\mathrm{E}(1,\ 0)$，$\mathrm{F}(1,\ 1)$，$\mathrm{F}^\prime(-5,\ 11)$がある．さらに点$\mathrm{E}^\prime$は第1象限にあり，$\mathrm{O}$を原点とするとき，三角形$\mathrm{OE}^\prime \mathrm{F}^\prime$は角$\mathrm{E}^\prime$が直角の二等辺三角形である．

(1)点$\mathrm{E}^\prime$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{E}$を点$\mathrm{E}^\prime$に，点$\mathrm{F}$を点$\mathrm{F}^\prime$に移すような1次変換を$f$とする．$f$を表す行列を求めよ．
(3)座標平面に三角形$\mathrm{OPQ}$があり，(2)の1次変換$f$により点$\mathrm{P}$が点$\mathrm{P}^\prime$に，点$\mathrm{Q}$が点$\mathrm{Q}^\prime$に移るとする．三角形$\mathrm{OPQ}$と三角形$\mathrm{OP}^\prime \mathrm{Q}^\prime$は相似であることを示せ．

座標空間内に3点A$(2,\ 2,\ 0)$，B$(0,\ 2,\ 2)$，C$(2,\ 0,\ 2)$がある．次の問いに答えよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ < \theta < 180^\circ$とする．
(2)$\triangle$ABCの面積を求めよ．
(3)原点Oから平面ABCに垂線をおろし，平面ABCとの交点をHとする．点Hは平面ABC上にあるから$\overrightarrow{\mathrm{OH}}=r\overrightarrow{\mathrm{OA}}+s\overrightarrow{\mathrm{OB}}+t\overrightarrow{\mathrm{OC}} \ (r+s+t=1)$と表すことができる．このとき，$r,\ s,\ t$を求めよ．
(4)四面体OABCの体積を求めよ．
(5)球$P$が四面体OABCのすべての面に接している．このとき，球$P$の半径を求めよ．

$\alpha>1,\ x>0$とする．Oを原点とする座標平面上に3点A$(0,\ 1)$，B$(0,\ \alpha)$，P$(\sqrt{x},\ 0)$がある．次に答えよ．

(1)$\sin \angle \text{OPB}$と$\sin \angle \text{APB}$を$\alpha$と$x$を用いて表せ．
(2)$\sin \angle \text{APB}$を$x$の関数と考え，その関数を$f(x)$とおく．$f(x)$の最大値を$\alpha$を用いて表せ．
(3)(2)で求めた最大値が$\displaystyle \frac{1}{2}$となる$\alpha$を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)不等式$x^2+y^2<1$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)不等式$|x|+|y|<2$の表す領域を$xy$平面上に図示せよ．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2<5$をみたすとき，$|x|<3$かつ$|y|<3$が成り立つことを示せ．
(4)任意の実数$x,\ y$に対して，$|x|+|y| \leqq 2\sqrt{x^2+y^2}$が成り立つことを示せ．

\begin{spacing}{2}
行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle -\frac{1}{4} & \displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{4} \\
\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} & \displaystyle -\frac{1}{4}
\end{array} \right)$について，次の問いに答えよ．
\end{spacing}


(1)$A^2,\ A^3$を求めよ．
(2)$n$を自然数とし，$\biggl( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \biggr)=A^n \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
0
\end{array} \biggr)$とするとき，$\biggl( \begin{array}{c}
x_1 \\
y_1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
x_2 \\
y_2
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
x_3 \\
y_3
\end{array} \biggr)$を求めよ．
(3)$xy$平面上の点P$_n$の座標を，(2)で定めた$(x_n,\ y_n)$とする．原点Oを中心とし，OP$_n$を半径とする円の面積を$S_n$とするとき，$S_1,\ S_2,\ S_3$を求めよ．
(4)(3)で定めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．

動点Pは，$xy$平面上の原点$(0,\ 0)$を出発し，$x$軸の正の方向，$x$軸の負の方向，$y$軸の正の方向，および$y$軸の負の方向のいずれかに，1秒ごとに1だけ進むものとする．その確率は，$x$軸の正の方向と負の方向にはそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{5}$，$y$軸の正の方向には$\displaystyle \frac{2}{5}$，および$y$軸の負の方向には$\displaystyle \frac{1}{5}$である．このとき次の問いに答えよ．

(1)2秒後に動点Pが原点$(0,\ 0)$にある確率を求めよ．
(2)4秒後に動点Pが原点$(0,\ 0)$にある確率を求めよ．
(3)5秒後に動点Pが点$(2,\ 3)$にある確率を求めよ．

関数$f(x)=kx^3-3kx \ (k>0)$が表す座標平面上の曲線を$C:y=f(x)$とする．曲線$C$上の2点P$(p,\ f(p))$，Q$(ap,\ f(ap))$における接線をそれぞれ$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$p>0,\ a \neq 1$とする．以下の問いに答えよ．

(1)点Pにおける接線$\ell_1$の方程式を$k,\ p$を用いて表せ．
(2)点Qにおける接線$\ell_2$が点Pを通るとき，$a$の値を求めよ．
(3)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，$k$を$p$を用いて表せ．また，そのような$k$が存在する$p$の値の範囲を求めよ．
(4)ある$k$に対して2つの接線$\ell_1,\ \ell_2$が点Pにおいて垂直に交わっているとき，接線$\ell_2$と曲線$C$によって囲まれた図形の面積$S$を$p$を用いて表せ．

$a$を正の実数とする．$t$を媒介変数として
\[ x(t)=\cos 2t,\ y(t)=\sin at \quad (-\pi \leqq t \leqq \pi) \]
で表される曲線$C$について，以下の問に答えよ．

(1)$a=1$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．
(2)$a=2$とする．$C$を$x$と$y$の方程式で表し，その概形を$xy$平面上にかけ．
(3)定積分
\[ \int_{-\pi}^\pi x(t)y^\prime(t) \, dt \]
の値を，$a \neq 2$と$a=2$のそれぞれの場合について求めよ．
(4)(3)で求めた定積分の値を$a$の関数と考えて$\displaystyle P(a)=\int_{-\pi}^\pi x(t)y^\prime(t) \, dt$とおく．$\displaystyle \lim_{a \to 2}P(a)$の値を求めよ．

$a$を正の実数とする．$xy$平面上に放物線$C:y=x^2-2ax+a^2+1$と2つの直線$\ell_1:y=-2ax+6$，$\ell_2:y=2$がある．$\ell_1$と$\ell_2$の交点が不等式$y>x^2-2ax+a^2+1$の表す領域にあるとき，以下の問に答えよ．

(1)$a$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$C$と$\ell_1$の2つの交点の$x$座標，$C$と$\ell_2$の2つの交点の$x$座標をそれぞれ求めよ．
(3)$C$と$\ell_1$の2つの交点間の距離を求めよ．
(4)(3)で求めた距離が最大となるときの$a$の値を求めよ．