$a$を正の実数とし，$x,\ y$に関する次の不等式を考える．
\[ \begin{array}{ll}
3y \geqq 5x & \cdots\cdots① \\
4y \geqq 7a & \cdots\cdots② \\
x-y \geqq 3-a & \cdots\cdots③
\end{array} \]

(1)$①,\ ②$を同時に満たす点$(x,\ y)$のなす領域を$xy$平面上に図示せよ．
(2)$①,\ ②,\ ③$を同時に満たす実数の組$(x,\ y)$が存在するような$a$の範囲を求めよ．

$s,\ t$を実数とする．以下の問いに答えよ．

(1)$x=s+t+1,\ y=s-t-1$とおく．$s,\ t$が$s \geqq 0,\;\; t \geqq 0$の範囲を動くとき，点$(x,\ y)$の動く範囲を座標平面内に図示せよ．
(2)$x=st+s-t+1,\ y=s+t-1$とおく．$s,\ t$が実数全体を動くとき，点$(x,\ y)$の動く範囲を座標平面内に図示せよ．

$a$を正の定数とし，$xy$平面上の曲線$C$の方程式を$y=x^3-a^2x$とする．

(1)$C$上の点A$(t,\ t^3-a^2t)$における$C$の接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．ただし，$t$は0でないとする．
(2)$b$を実数とする．$C$の接線のうち$xy$平面上の点B$(2a,\ b)$を通るものの本数を求めよ．
(3)$C$の接線のうち点B$(2a,\ b)$を通るものが2本のみの場合を考え，それらの接線を$\ell_1,\ \ell_2$とする．ただし，$\ell_1$と$\ell_2$はどちらも原点$(0,\ 0)$を通らないとする．$\ell_1$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_1$とし，$\ell_2$と$C$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1 \geqq S_2$として，$\displaystyle\frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．

$m$を実数とする．座標平面上で直線$y=x$に関する対称移動を表す$1$次変換を$f$とし，直線$y=mx$に関する対称移動を表す$1$次変換を$g$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$1$次変換$g$を表す行列$A$を求めよ．
(2)合成関数$g \circ f$を表す行列$B$を求めよ．
(3)$B^3=\left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}
\right)$となる$m$をすべて求めよ．

$xy$平面上に，点$(0,\ 1)$を通り，傾きが$k$の直線$\ell$がある．

(1)$xy$平面において，$\ell$に関して点P$(a,\ b)$と対称な点をQ$(s,\ t)$とする．このとき，$a,\ b,\ k$を用いて$s,\ t$を表せ．ただし，点P$(a,\ b)$は$\ell$上にないとする．
(2)$xy$平面において，$\ell$に関して原点O$(0,\ 0)$と対称な点をAとする．$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くとき，線分OAの長さの最大値と最小値を求めよ．
(3)$k$が$-1 \leqq k \leqq 1$の範囲を動くときの点Aの軌跡を$C$とする．$C$と直線$y=1$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上で考える．不等式$y < -x^2+16$の表す領域を$D$とし，不等式$|x-1|+|y| \leqq 1$の表す領域を$E$とする．このとき，以
下の問いに答えよ．

(1)領域$D$と領域$E$をそれぞれ図示せよ．
(2)A$(a,\ b)$を領域$D$に属する点とする．点A$(a,\ b)$を通り傾きが$-2a$の直線と放物線$y=-x^2+16$で囲まれた部分の面積を$S(a,\ b)$とする．$S(a,\ b)$を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)点A$(a,\ b)$が領域$E$を動くとき，$S(a,\ b)$の最大値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面における曲線$\displaystyle C: \frac{x^2}{4}+y^2=1$上に，点$\mathrm{P} \displaystyle\left( 1,\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$をとる．

(1)$C$の接線で直線$\mathrm{OP}$に平行なものをすべて求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値と，最大値を与える$\mathrm{Q}$の座標をすべて求めよ．

$xyz$空間に3点O$(0,\ 0,\ 0)$，A$(1,\ 0,\ 1)$，B$(0,\ \sqrt{3},\ 1)$がある．平面$z=0$に含まれ，中心がO，半径が1の円を$W$とする．点Pが線分OA上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_A$とおく．同様に点Pが線分OB上を，点Qが円$W$の周および内部を動くとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$をみたす点R全体がつくる立体を$V_B$とおく．さらに$V_A$と$V_B$の重なり合う部分を$V$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)平面$\displaystyle z=\cos \theta \ (0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2})$による立体$V$の切り口の面積を$\theta$を用いて表せ．
(2)立体$V$の体積を求めよ．

$a$を正の定数とし，座標平面上の$2$曲線$C_1:y=e^{x^2},\ C_2:y=ax^2$を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば$\displaystyle \lim_{t \to +\infty} \frac{e^t}{t}=+\infty$であることを用いてもよい．

(1)$t>0$の範囲で，関数$\displaystyle f(t)=\frac{e^t}{t}$の最小値を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1,\ C_2$の共有点の個数を求めよ．
(3)$C_1,\ C_2$の共有点の個数が$2$のとき，これらの$2$曲線で囲まれた領域を$y$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

実数$a,\ b$に対して，$f(x)=x^2-2ax+b,\ g(x)=x^2-2bx+a$とおく．

(1)$a \neq b$のとき，$f(c)=g(c)$を満たす実数$c$を求めよ．
(2)(1)で求めた$c$について，$a,\ b$が条件$a<c<b$を満たすとする．このとき，連立不等式
\[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \]
が解をもつための必要十分条件を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)一般に$a<b$のとき，連立不等式
\[ f(x)<0 \quad \text{かつ} \quad g(x)<0 \]
が解をもつための必要十分条件を求め，その条件を満たす点$(a,\ b)$の範囲を$ab$平面上に図示せよ．