点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 1)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{n}=(2,\ 1,\ -1)$に垂直な平面$\alpha$を考える．

(1)平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$に関して
\[ 2x+y-z=1 \]
が成り立つことを示せ．
(2)平面$\alpha$に関して点$\mathrm{B}(3,\ 2,\ 1)$と対称な点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{B}$と点$\mathrm{Q}(1,\ 4,\ 5)$と平面$\alpha$上の点$\mathrm{R}$が正三角形の$3$頂点となるとき，点$\mathrm{R}$の座標を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(a,\ b,\ 0)$がある．線分$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$をとり，$\displaystyle t=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OA}}$とする．このとき，$0 \leqq t \leqq 1$である．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{OA}$上を動くとき，線分$\mathrm{PB}$の長さの最小値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた最小値が$1$となるような点$(a,\ b)$全体が作る図形を，座標平面上に図示せよ．

座標平面上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 6)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{6}{5},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(6,\ 0)$とする．$2$つの半直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$と接する$2$次曲線を
\[ y=ax^2+bx+c \]
とし，$a$を$c$で表すと，$a=[ク]$である．

この$2$次曲線のうち点$(4,\ 1)$を通る曲線は$2$つある．このうち$y$切片の小さい方の$2$次曲線は
\[ y=[ケ]x^2+[コ]x-[サ] \]
であり，この曲線と$x$軸で囲まれる部分の面積は$[シ]$である．

平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$に対して，点$\mathrm{Q}(x,\ y)$を以下のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．

(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．

座標平面上に放物線$C:y=ax^2+1$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}$における接線を$\ell$とし，点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．ただし，$a>0$，$p>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a,\ p$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$，放物線$C$，および$y$軸で囲まれる部分の面積$S$を$a,\ p$を用いて表せ．
(3)直線$\ell$と原点との距離が$1$のとき，$S$を$a$を用いて表せ．

座標平面上に放物線$C:y=x^2+(2-a)x+3-a$がある．放物線$C$上の点$\mathrm{P}(-1,\ 2)$における接線を$\ell$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$a$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$が$x$軸の正の部分と交わり，かつ$y$軸の正の部分と交わるような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$の値が$(2)$で求めた範囲にあるとする．$x$軸，$y$軸，直線$\ell$で囲まれる三角形の面積を$S_1$とし，また，$y$軸，直線$\ell$，放物線$C$で囲まれる図形の面積を$S_2$とする．$S_1=3S_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

座標平面上に点$\mathrm{A}(2,\ 0)$，点$\mathrm{B}(0,\ 2)$があり，点$\mathrm{P}(x,\ y)$は$\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}=0$を満たしている．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の軌跡の方程式を求めよ．
(2)線分$\mathrm{PA}$の長さが$\sqrt{2}$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{P}(x,\ y)$について$x>0$，$y=1$であるとき，$\angle \mathrm{AMP}$を求めよ．

図のように，座標平面上に，$x$座標が$0,\ 1,\ 2$，$y$座標が$0,\ 1,\ 2$である$9$個の点がある．これらの$9$点から$1$点を選ぶ試行を$3$回くり返すことで$3$点を選ぶ．ただし，どの点を選ぶ確率も等しいとする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$3$点とも原点$\mathrm{O}$になる確率を求めよ．
(2)$3$点が同一の点になる確率を求めよ．
(3)$3$点のうち$2$点だけが同一の点になる確率を求めよ．
(4)$3$点とも異なる点であり，かつ一直線上に並ぶ確率を求めよ．
(5)$3$点を頂点とする三角形ができる確率を求めよ．
（図は省略）

座標平面上に曲線$C:y=x^2 (x \geqq 0)$がある．この曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$における接線を$\ell$，点$\mathrm{P}$を通り直線$\ell$に垂直な直線を$m$とする．ただし，$t>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\ell$の方程式を$t$を用いて表せ．
(2)曲線$C$，直線$\ell$，$x$軸で囲まれた部分の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3)直線$m$の方程式を$t$を用いて表せ．
(4)曲線$C$，直線$m$，$y$軸で囲まれた部分の面積を$T$とする．$T$を$t$を用いて表せ．
(5)$S:T=1:9$となるとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

$[ア]$～$[オ]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)どのような$2$次関数$f(x)$に対しても
\[ \int_0^2 f(x) \, dx \]
の値は，$f(0)$，$f(1)$，$f(2)$を用いて$[ア]$と表せる．
(2)$k$を実数とする．$xy$平面上の直線$y-2=k(x-1)$と放物線$y=x^2$によって囲まれる図形の面積は，$k=[イ]$のとき最小値$[ウ]$をとる．
(3)$p$を$5$以上の素数とする．$p^3$を$p-4$で割った余りが$4$であるとき，$p=[エ]$である．
(4)$\displaystyle \sum_{n=1}^{2013} \frac{\sin \displaystyle\frac{2n\pi}{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}{|\sin \displaystyle\frac{2n\pi|{7}-\cos \displaystyle\frac{2n\pi}{7}}}=[オ]$